Algèbre II

Application f déf, E->F

associe à tout x appartenant à E, un élément unique y inclus dans F

Une algèbre

anneau qui est un Espace vectoriel, ex : fonction, polynome

Transformation

application de E vers E

Groupe de transformation

Ensemble G :  T rond S inclus dans G, T inclus dans G, G non-vide

Opérateur

endomorphisme, application linéaire dans lui-même

"Variables d'états"

Coordonées de x\=(x1,…xn)

orbite (trajectoire) du système dynamique 

{x}\={t(x)}

A^k=

PD^kP^-1

"récurrence linéaire d'ordre m"

une suite x\=ax+ax+…+ax

résoudre une récurrence linéaire 

Xk=A^kC où Xk 
(0 0 1 0… 0)

(0 ……    1)

                                        (ao a1 … am-1)

Solution de la récurrence

xk\=bl+…+bl l sont les valeurs propres de A et les bi determinés par les CI

f et g sont conjugués si 

g\=hfh

W est invariant par f

f(w) inclus dans W

"On a un homomorphsime d'algèbre en remplaçant t par f dans les polynomes 

(pq)f\=p(f)q(f)

polynome annulateur de f

p(f)\=0

"Tout endomorphisme f d'un K-EV de dim n …"

admet un polynome annulateur non nul

polynome minimal

polynome unitaire de degré minimal qui annule f

tout polynome annulateur …

est multiple du polynome minimal

Le polynome minimal est …

unique 

Thm de Cayles-Hamilton

"Tout endomorphisme f d'un K-EV de dim finie est annulé par son polynome caractéristique"

Le polynome minimal divise …

le polynome caractéristique

Polynome spectral

(t-l1)…(t-ln) ou li est une valeur propre

si le polynome caractéristique est scindé …

le polynome minimal \= (t-l1)…(t-ln) ou li \= valeur propre et 1≤si≤mult. algb.

Vecteur propre généralisé

il existe m inclus dans |N tq (f-l*In)v\=0

Ordre du Vpg

le plus petit entier m tq (f-l*In)v\=0

multiplicité généralisée

dim Ker(f-l*In)

Thm de réduction primaire, p(t)\=(t-l1)…(t-lr)

"1)Uj\=Ker(f-l) est invariant par f

si f inclus dans |C et v inclus dans |C

v est somme de vpg

Conséquences du thm de la réduction primaires, les 4 conditions sont équivalentes

1) f est diagonalisable

somme des mult alg \=

dim V

mult alg \= …

dim(Ker(f-l)

ordre des mutliplicités

1≤mult géom≤dim(Ker(f-l)≤mult alg≤ dim V

1) δ(k) … δ(k+1)         

1)≤

Lemme des noyaux

Si p(t) se factorise, p(t)\=q1(t)…qn(t) avec qi, qj premiers entre-eux, alors Ker(p(f))\=Ker(q1(f))somme directe … Ker(qn(f))

Théorème de Dunford

si le polynome caractéristique est scindé, alors A \= D + N avec D diagaonale et N nilotent et DN \= ND (équivalence avec les endomorphisme)

"Si le polynome caractéristique est scindé et f n'a qu'une valeur propre, "

f-lambda est nilpotent

"Soit un vpg d'ordre m, alors les vi suivants : vi\=(f-l)(v) …"

sont libre

Sous espace cyclique pour la valeur propre lambda

"U\=Vect(vi\=(f-l)(v)) et v\=vm s'appelle le générateur ou la racine du cycle"

"pour un endomorphisme cyclique d'ordre m, mutiplicité généralisé \="

delta(k)\=dimKer(f-l)k\=min(k,m)

"4 conséquences si f est cyclique d'ordre m pour la valeur propre l"

"1) f-l est nilpotent d'ordre m

Thm forme normale de Jordan, polynome caractéristique scindé

V peut se décomposer en somme dircete de sous-espace cyclique

nombre de bloc de jordan pour l de taille m

alpha(m) \= 2*delta(m)-delta(m-1)-delta(m+1)

poly cara \= produit (t-l) et poly minim \= produit (t-l)

1) La taille maximale de chaque bloc m≤si

Covecteur

application linéaire theta

V*

"L'ensemble des covecteurs"

V* est le … de V

dual

"matrice contragédiente de P (P'\=…"

"(P)\=(P)"

Application duale

f*(µ)(x)\=µ(f(x))

"Si A est la matrice de A dans B,B' alors la matrice de f* dans la base duale est …"

A

Rang (f) … Rang(f*)

\=

Un couplage entre deux EV

Une application ß qui est bilinéaire, ß((a+b)x,by)\=(a+b)*b*ß(x,y)

ß est non dégénéré si

pour tout v inclus dans V on a  (ß(v,w)\=0 pour tout w inclus dans W <\=> v\=0)

ßg et ßd \= 

ßg(v)(w)\=ß(v,w)\=<v|w>

ß est non dégénéré ssi

ßg et ßd sont injectifs

forme bilinéaire

couplage de V avec lui-même, g(v,v)

Matrice de Gram

G\=(gij), gij\=g(vi,vj)

"G'\="

PGP

deux matricses sont congruantes

"G'\=PGP"

Produit tensoriel

(α_*_ß)(x,y)\=α(x)*ß(y)

EV Bil(V)

dimension \= n^2

forme bilinéaire symétrique et antisymétrique

symétrique : ß(x,y)\=ß(y,x)

soit g une forme bilinéaire symétrique, il existe une base {v1,…vn} tq 

gi,j\=g(vi,vj)\=0 si i≠j ( Matrice de Gram diagonale)

Espace orthogonal de V

W\={x inclsu dans V | g(x,v)\=0}

soit g une forme bilinéaire symétrique, il existe une base {µ1,…µn} et ai,…,ar tq 

g\= somme ai*µi^2\= somme aiµi_*_µi

forme quadratique

une fonction Q tq il existe une forme bilinéaire ß tq Q(x)\=ß(x,x)

ß est antisymétrqiue <\=>

ß(x,x)\=0

formule de polarisation

g(x,y)\=1/4(Q(x+y)-Q(x-y))

Thm : toute forme quadratique

"peut s'écrire somme(sur les r) aiµi^2"

Un produit scalaire g

application tq

Espace vectoriel Euclidien

"Un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire"

norme ||x||

||x||\=sqrt(<x,x,>)

Inégalité de Cauchy-Schwarz

|<x,y>≤||x||*||y||

Propriétés de la norme

i) ||x||≥0

formule de polarisation produit scalaire, <x,y> \=

1/4*(||x+y||-||x-y||)

propriétés distance 

d(x,y)\=d(y,x)

distance Euclidienne d(x,y)\=

||y-x||

angle theta

"cos theta \= <x,y>/(||x||*||y||)"

Aire du parallélogramme

P(x,y)\=sqrt(||x||*||y||-<x,y>)

x,y orthogonaux

si <x,y>\=0

Thm de pythagore, x,y ortogonaux <\=>

||x+y||\=||x||+||y||

"Projection d'un vecteur sur un autre (de b sur a)"

c\=<b,a>/||a||*a

x est orthogonal a W

si x est ortogonal a w pour tout w dans W

W orth

\={x dans V | x orthogonal à W}

V\=W1_+_W2 (somme directe orthogonale)

V\=W1+W2

base orthogonale et orthonormée

orthogonale : vi orthogonal a vj pour tout i≠j

"Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt"

"u1\=v1/||v1|| et u'k\=vk-somme(j\=1 jusqu'a n-1) <vk,uj>uj et uk\=u'k/||u'k||"

Projecteur

"Pw(x)\=somme(j\=1 jusqu^'à m)<xj,wj>wj  

projection 

P\=P

symétrie 

S\= Iv, S \= 2P-Iv

symétrie ou projecteur orthogonaux

les espaces propres sont orthogonaux

f est une isométrie signifie

d(f(x),f(y))\=d(x,y)

si f est une isométrie alors

f(x)\=Ax+b

Une matrice est orthogonal si 

AA\=In

Les propriétées suivantes sont équivalentes : 1) A est orthogonal

2) ||Ax||\=||x||

groupe orthogonal

O(n)\={A inclus dans Mn(|R) | AA\=In}

groupe de Rotation

SO(n)\={A inclus dans O(n) | det(A)\=1}

Rotation 2x2

""

Rotation 3x3

""

Matrice Symétrie

""

Transformations galiléeenes

"1) durées préservée : |s-s'|\=|t-t'|