Lois du moment cinétique

Flashcards basées sur le cours 'Lois du moment cinétique' couvrant les définitions, les théorèmes fondamentaux (TMC), les moments d'inertie et l'approche énergétique.

Quelle est la définition du moment cinétique $\vec{L}_O(M)$ d'un point matériel $M$ de masse $m$ par rapport à un point $O$ ?

$$\vec{L}_O(M) = \vec{OM} \times p = \vec{OM} \times m\vec{v}$$

Comment définit-on le moment cinétique d'un point matériel par rapport à un axe fixe $\Delta$ ?

C'est la projection du moment cinétique sur l'axe : $L_{\Delta} = \vec{L}_O(M) \cdot \vec{e}_{\Delta} = (\vec{OM} \times m\vec{v}) \cdot \vec{e}_{\Delta}$, où $O$ est un point quelconque de l'axe.

Quelle est l'unité du moment cinétique dans le Système International ?

$$\text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}$$

Définissez le moment d'une force $\vec{F}$ s'appliquant en $M$ par rapport à un point fixe $O$.

$$\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{OM} \times \vec{F}$$

Quelle est l'unité du moment d'une force ?

$\text{N} \cdot \text{m}$ (Newton mètre)

Comment calcule-t-on le moment scalaire d'une force par rapport à un axe $\Delta$ en utilisant le bras de levier $d$ ?

$|M_{\Delta}(\vec{F})| = d \times F$, où $d$ est la distance entre l'axe et la droite d'action de la force.

Quelle est la condition pour qu'un solide soit dit en translation dans un référentiel $R$ ?

Tous les points du solide doivent avoir la même vitesse $\vec{v}(t)$ à chaque instant.

Définissez le moment d'inertie $J_{\Delta}$ d'un système de points matériels par rapport à un axe $\Delta$.

$J_{\Delta} = \sum m_i r_i^2$, où $r_i$ est la distance de chaque point $M_i$ à l'axe $\Delta$. L'unité est le $\text{kg} \cdot \text{m}^2$.

Donnez le moment d'inertie $J_{\Delta}$ pour un cylindre plein (ou un disque) de masse $m$ et de rayon $R$ par rapport à son axe de révolution.

$$J_{\Delta} = \frac{1}{2} mR^2$$

Donnez le moment d'inertie $J_{\Delta}$ pour une sphère pleine de masse $m$ et de rayon $R$ par rapport à un axe passant par son centre.

$$J_{\Delta} = \frac{2}{5} mR^2$$

Énoncez le théorème de Huygens pour le moment d'inertie.

Le moment d'inertie $J_{\Delta}$ d'un solide par rapport à un axe $\Delta$ est égal à $J_{\Delta_G} + M \times d^2$, où $\Delta_G$ est l'axe parallèle à $\Delta$ passant par le centre d'inertie $G$, $M$ la masse totale et $d$ la distance entre les deux axes.

Quelle est la relation entre le moment cinétique scalaire $L_{\Delta}$ et la vitesse angulaire $\omega$ pour un solide en rotation autour d'un axe fixe ?

$$L_{\Delta} = J_{\Delta} \omega$$

Définissez mathématiquement un "couple" de forces.

Deux forces dont la somme vectorielle est nulle ($\sum \vec{F} = \vec{0}$) mais dont le moment résultant par rapport à un point $O$ est non nul ($\vec{C} \neq \vec{0}$).

Énoncez le Théorème du Moment Cinétique (TMC) pour un point matériel $M$ dans un référentiel galiléen.

$$\frac{d\vec{L}_O(M)}{dt} = \sum \vec{M}_O(\vec{F}_{ext})$$

Énoncez le TMC pour un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$.

$$J_{\Delta} \frac{d\omega}{dt} = \sum M_{\Delta}(\vec{F}_{ext})$$

Sous quelle condition le moment cinétique d'un point matériel par rapport à $O$ se conserve-t-il ?

Si le moment résultant des forces extérieures par rapport à $O$ est nul ($\sum \vec{M}_O = \vec{0}$), ce qui est notamment le cas pour des forces centrales.

Quelle est l'expression de l'énergie cinétique $E_c$ d'un solide en rotation autour d'un axe fixe $\Delta$ ?

$$E_c = \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$$

Quelle est la puissance $P$ développée par un moment $M_{\Delta}$ s'appliquant sur un solide en rotation ?

$$P = M_{\Delta} \times \omega$$

Donnez l'expression du moment de rappel exercé par un fil de torsion de constante $k$ tourné d'un angle $\theta$.

$$C = -k \times \theta$$

Quelle est l'énergie potentielle $E_p$ associée à un couple de torsion $C = -k\theta$ ?

$$E_p = \frac{1}{2} k\theta^2 + \text{cte}$$

Comment s'exprime le moment du poids d'un solide par rapport à un point $O$ ?

Le poids se comporte comme s'il était appliqué en un seul point, le centre d'inertie $G$ : $\vec{M}_O(\vec{P}) = \vec{OG} \times m\vec{g}$

Que se passe-t-il pour la vitesse angulaire d'un système déformable (comme une personne sur un tabouret d'inertie) si son moment d'inertie $J_{\Delta}$ augmente sans couple extérieur ?

La vitesse angulaire $\omega$ diminue car le moment cinétique $L_{\Delta} = J_{\Delta} \omega$ se conserve ($J_1 \omega_1 = J_2 \omega_2$).