5 LINEARNE PRESLIKAVE

kaj je linearna preslikava

Preslikava je linearna; če velja:

1) A(v + u) = Av + Au (aditivnost)

2) A(au) = a(Au) ; a je število, kot bi pisalo alfa (homogenost)

množico vseh lin. preslikav imenujemo homomorfizmi Hom_IF, to je tudi vektorski prostor nad IF.

endomorfizem

A : U → U, oznaka End_IFU

izomorfizem

bijektivna linearna preslikava A: U → V je IZOMORFIZEM vektorskega prostora , če sta U in V izomorfna, med njima obstaja izomorfizem.

Kaj je množenje z matriko?

Linearna preslikava. Če je matrika A € IF^m*n, potem imamo preslikavo A: IF^m → IFⁿ

Naj bo B baza za IF^m in C baza za IFⁿ, potem vektorje iz B slikamo s preslikavo A in razvijemo po bazi C

jedro in slka linearne preslikave

lastnosti linearne preslikave

Ali je kompozitum linearnih preslikav tudi linearna preslikava?

Da

A: U → V je linearna in bijektivna. Kaj velja za A^-1?

A^-1: V → U in je tudi linearna

IZREK !!! Kaj velja za matriko linearne preslikave A razvite po bazi B prostora V?

prehod med bazami (trditev)

zveza za kerA in imA glede na vektorska prostora U in V

A: U → V linearna, kerA je vektorski podprostor U, imA je vektorski podprostor V

Kdaj je linearna preslikava surjektivna oz. injektivna?

1) surjektivna: imA = V

2) injektivna: kerA = {0}

dimenzijska enačba

A: U → V linearna

dim(kerA) + dim(imA) = dim U

Kdaj so si lastnosti injektivnost, surjektivnost in bijektivnost ekvivalentne?

Ko je A: V → V endomorfizem so si vse tri lastnosti ekvivalentne.

Čemu je enak rang matrike linearne preslikave A?

linearna preslikava A: U → V, rangA = dim(imA)