Chapitre 6 : Fonctions : Limites et Continuité

Ces flashcards couvrent les concepts clés du chapitre sur les fonctions, y compris les limites, la continuité, et des théorèmes associés.

Limite finie

Soit l un nombre réel. On dit que f admet pour limite l en + ∞ si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs f(x) pour x assez grand.

Asymptote horizontale

La droite d’équation y = l est asymptote horizontale à la courbe Cf au voisinage de + ∞ si limx→+ ∞ f (x) = l.

Limite infinie

On dit que f admet +∞ pour limite en +∞ si tout intervalle de la forme ]A;+∞[ contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.

Asymptote verticale

La droite d’équation x=a est asymptote verticale à la courbe Cf si limx→a f (x) = ±∞.

Croissance comparée

Un théorème concernant les limites à l'infini, stipulant que si limx →+ ∞ f(x) ≤ g(x) et limx →+ ∞ g(x) = -∞, alors limx →+ ∞ f(x) = -∞.

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

Fonction continue

Une fonction f est continue en a si limx →a f(x) = f(a).

Partie entière

La fonction qui associe à tout réel x le plus grand entier inférieur ou égal à x, notée E(x) ou ⌊x⌋.

Fonctions continues

Les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle où elles sont définies.

Exemple de limite composée

Si limx→ a f(x) = b et limx → b g(x) = c, alors limx→ a g(f(x)) = c.

Unicité de la solution

Pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], toute valeur k entre f(a) et f(b) a une solution unique c telle que f(c) = k.

Théorème des gendarmes

Si g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) et limx →+ ∞ g(x) = limx →+ ∞ h(x) = l, alors limx →+ ∞ f(x) = l.