MAT.02 Zahl- und Operationsverständnis

Anzahlen bestimmen

• Simultane Anzahlerfassung

• Quasi-simultane Anzahlerfassung

• Zählen

Simultane Anzahlerfassung

• Angeboren

• Einzelteile auf einen Blick erfassen («hinsehen»)

• 3-4 Elemente

Quasi-simultane Anzahlerfassung

• Muss erlernt werden / Kompetenzen aufbauen

• Menge strukturieren, Einzelteile zu neuen Einheiten zusammenfassen, Einheiten simultan erfassen

• Grundsätzlich wie simultan 

→ Strukturierung: Einzelteile 

→ Einheiten

Zählen

• Muss erlernt werden / Kompetenzen aufbauen

• Abzählen

• Theoretische unbeschränkt 

→ abhängig von Entwicklung Zählfertigkeit

Zählprinzipien

1. Eindeutigkeit

2. Stabile Ordnung

3. Kardinalzahl

4. Abstraktion

5. Irrelevanz der Anordnung

Eindeutigkeit

jedem Gegenstand genau ein Zahlwort zugeordnet

Stabile Ordnung

Zahlwortreihe hat stabile, stets wiederholende Ordnung. Zahlwörter in richtigen Reihenfolge

→ bei Analyse: Erfüllt bis zur Zahl …

Kardinalzahl

das letztgenannte Wort = Anzahl der Menge, nicht Eigenschaft des einen Elements, sondern alle gezählte Elemente

Abstraktion

Jede beliebige Menge unabhängig von Art und Eigenschaft der versch. Gegenstände kann gezählt werden

Irrelevanz der Anordnung

Es spielt keine Rolle, an welchem Ort und in welcher Reihenfolge de Elemente gezählt werden. 

Schwierigkeiten:

→ nach Mischen der Gegenstände, muss neu gezählt werden

→ wenn beim Würfel mit 1 begonnen wird, meint das Kind: Würfel «heisst» 1

how to count

Zählprinzipien 1-3

What to count

Zählprinzip 4

Phasen der Zählentwicklung 

1. Verbales Zählen

2. Asynchrones Zählen

3. Ordnen der Objekte während des Zählens

4. Resultatives Zählen

5. Abkürzendes Zählen

Verbales Zählen

Zahlwortreihe wie Gedicht aufsagen 

Asynchrones Zählen

Zahlwörter in richtigen Reihenfolge zum Zählen genutzt. Einzelne Objekte noch doppelt gezählt oder ausgelassen

Ordnen der Objekte während des Zählens

gezählte Objekte gezielt beiseite geschoben

Resultatives Zählen

wissen, mit 1 anfangen, jedes Objekt einmal, letzte Zahl = Anzahl (alle «how to count» erfüllt)

Abkürzendes Zählen

Strukturen genutzt, von belieb. Zahl aus, in zweierschritten, rückwärts

Zahlaspekte

• Ordinalzahlaspekt

→ Zählzahl: an welcher Stelle?

→ Ordnungszahl: der wievielte?

• Kardinalzahlaspekt: wie viele? 

• Masszahlaspekt

• Operatoraspekt: wie oft?  

• Rechenzahlaspekt 

→ Algebraisch

→ Algorithmisch

• Codierungsaspekt

Ordinalzahlaspekt

• Zählzahl: an welcher Stelle? (Folge Nat. Zahlen beim Zählen)

→ eins, zwei, drei, …, Samira ist Nummer drei

• Ordnungszahl: der wievielte? (Rangplatz in geordneter Reihe)

→ März ist der dritte Monat im Jahr

Kardinalzahlaspekt

Anzahl Elemente/Mächtigkeit Menge

→ Vor dem Restaurant stehen 3 Sonnenschirme

Masszahlaspekt

Masszahlen für Grössen

→ Samira ist 3 Jahre alt

Operatoraspekt

Beschreibung der Vielfachheit von Handlung/Vorgang

→ noch dreimal schlafen bis zu den Ferien

Rechenzahlaspekt

• Algebraisch → 5 x 2 = 10 oder Textaufgaben

• Algorithmisch → Rechnen mit Ziffern (schriftlich rechnen)

Codierungsaspekt

Bezeichnung von Objekten

→ Telefonnummern, Postleitzahlen, Autonummer, Haltestelle/Bus Nummer 

Zahlbeziehungen

• Anzahldarstellungen auf unterschiedlichen Repräsentationsebenen

→ Sprache

→ Handlung

→ Zeichen

→ Bild

• Anzahlvergleiche

→ Mengen

→ Zahlen

• Teile-Ganzes-Beziehung 

1. Protoquantitatives Teile-Ganzes-Prinzip

2. Zerlegung und Zusammensetzung konkreter Anzahlen

3. Zerlegung und Zusammensetzung von Zahlen

• Kompensation

• Kovariation

Anzahldarstellungen auf unterschiedlichen Repräsentationsebenen

• Sprache → «sechs»

• Handlung (enaktiv) → «nimm 6 Legos und lege sie in den Korb»

• Zeichen (symbolisch) → 6

• Bild (ikonisch) → Finger, Würfelaugen, 20er-Feld, Plättli, Strichbild

→ Intermodal: unterschiedliche Ebenen (z.B. von ikonisch zu Sprache)

→ Intralmodal: gleiche Ebene (z.B. ikonisch), andere Darstellung

Anzahlvergleiche

• Mengen: mehr/weniger, grösser, länger, höher, gleich viele/gross/lang/hoch

• Zahlen: grösser/kleiner als

Teile-Ganzes-Beziehung

(entwickelt sich in mehreren Stufen)

1. Protoquantitatives Teile-Ganzes-Prinzip

→ u.A. beim Ordnen (Sandkasten)

→ Erkenntnis: Gesamtmenge = versch. Arten v. Teilmengen; Teilmengen → Zusammenfügen/ weiter zerlegen

2. Zerlegung und Zusammensetzung konkreter Anzahlen

→ übertragung 1. Stufe auf konkrete Anzahlen

→ quasi-simultane Anzahlerfassung (7 = 5 Finger (Hand) + 2 Finger)

3. Zerlegung und Zusammensetzung von Zahlen

→ Erkenntnis: jede Zahl kann in Teile zergliedert werden

→ nur auf der Symbolischen Ebene (6 = 6+0 = 5+1 = 4+2 =…)

Kompensation

Das Verschieben eines Elements von einer Teilmenge zu anderen verändert Ergebnis nicht (2+4 = 3+3 = 6 → Konstanzsatz Addition)

Kovariation

Wird einer Teilmenge etwas hinzugefügt/weggenommen verändert sich Gesamtmenge (2+4 = 6, 3+4 = 7 → Nachbaraufgabe)

Vorstellungen Addition/Subtraktion

1. Grundvorstellungen

2. Fähigkeit zum Darstellungswechsel

3. Nutzung von Beziehungen

Grundvorstellungen

• dynamisch → Veränderung/Handlung (leichter für Kinder)

• Statisch → Zustand/Vergleich

Dynamische Grundvorstellungen

Addition:

• hinzufügen (dazufliegen, schenken, geben, …) → Addition

→ zu den drei blauen Plättchen werden zwei rote hinzugefügt …

• Wegnehmen (aufessen, schmelzen, …) → Subtraktion

→ Es sind fünf Personen, zwei gehen weg …

Subtraktion:

• Ergänzen/Angleichen → Subtraktion

→ 9 der 12 Puzzleteile sind bereits da. Wieviel müssen noch eingesetzt werden?

Statische Grundvorstellungen

Addition:

• Verbinden/zusammenfassen → Addition

→ Wie viele Punkte sind auf beiden Würfeln zusammen scihtbar?

• Vergleichen → Addition

→ Spieler blau hat neun Punkte, Rot drei mehr. Wie viele hat Spieler Rot?

Subtraktion:

• Vergleichen → Subtraktion

→ Spieler Blau hat 9 Punkte, Spieler Rot 12. Wie viele hat Rot mehr als Blau?

Fähigkeit zum Darstellungswechsel

(Wechsel der Repräsentationsebenen)

→ Grundvorstellungen aktivieren (Zahlen, Operationen, Strategien) ermöglichen Wechsel der Repräsentationsebenen und umgekehrt (Aufbau Grundvorstellungen)

Wie Operieren Kindergartenkinder? (Noch keine Nutzung von Beziehungen)

• Spiel- und Alltagssituationen auf enaktiver oder ikonischer Ebene 

• Dynamisch leichter als statisch

• Zählen wichtiger Zugang zu Addition und Subtraktion (soll gefördert werden)

• Zählstrategien (alles zählen, weiterzählen), Fingerbilder oder Herleitung aus bekannten Ergebnissen oder Aufgaben

→ alles zählen → weiterzählen → weiterzählen von grösseren Summanden aus → Fingerbilder → (Rechen-)Strategien → Wissen (oder Misch-Strategien)

Nutzung von Beziehungen

• Addition/Subtraktion in der 1. Klasse (→ Beziehungen nutzen)

o Grössere Zahlenräume → weg von zählenden Addieren/Subtrahieren

o Strategien entwickeln, Zahl-/Operationseigenschaften & Struktur des Zehnersystems effektiv nutzen (→ Resultate aus Punktebildern herauslesen)

o Voraussetzung: (quasi-)simultane Anzahlerfassung

20er-Punktefeld (Addition & Subtraktion)

& Strategien (Addition)

Addieren (1. Klasse)

(1) Legen, (2) verschieben (enaktiv → später in Gedanken), (3) Anzahl erkennen → Struktur interpretieren & «ablesen»

Strategien:

a.      Auf den Zehner auffüllen (Zehner als Zeile) → 6+(4+3) = 10+3 = 13

b.      Zehner als Doppelfünfer → (5+1)+(5+2) = (5+5)+(1+2) = 10+3 = 13

c.       Fastverdoppelung → (6+6)+1 oder (7+7)-1

d.      Kraft der Fünf (10+5)-2

Subtrahieren (1. Klasse)

(1) legen, (2) wenden & wegschieben (später in Gedanken), (3) Anzahl erkennen → Struktur interpretieren & «ablesen»

Lehrmittel “Kinder begegnen Mathematik” und Aufbau

Handbuch

Wimmelbuch

Arbeitsmappe

·        Handlungsaspekte: Operieren & Benennen, Erforschen & Argumentieren, Mathematisieren & Darstellen → spielerisch und an Alltagssituationen

·        Erste Begegnungen

·        Anknüpfen an Vorwissen

·        Aktive Beteiligung der Kinder mit Unterstützung der LP

·        Hinführung an Sprache der Mathematik

·        Lehrwerkteile: Handbuch für LP, Bilderbuch (Wimmelilder), Arbeitsmappe

Handbuch “Kinder begegnen Mathematik”

→ methodisch-didaktische Hinweise

→ Unterrichtsvorschläge: alltagsnah, handelnd, entdeckend

o   1 Begleitheft (Jahresplanung)

o   6 Unterrichtshefte

→ Aufbau der Themen (Zielsetzung, Didaktische Hinweise, Unterrichtsvorschläge, Kopiervorlagen)

→ Struktur: Einstimmung → Erfahrungen sammeln → Erfahrungen vertiefen → Auswertung → Weiterarbeit

→ Differenzierungsmöglichkeiten (Lernfortschritte anhand Beobachtungsbogen im Anhang)

→ Unterrichtsvorschläge für Arbeit mit ganzer Klasse konzipiert

Wimmelbuch “Kinder begegnen Mathematik”

→ Alltagserfahrungen der Kinder

→ Mathematische Fragen thematisieren (Klasse, Gruppen, einzelne Kinder)

o   Einlageblatt mit Fragen

o   12 Wimmelbilder

Arbeitsmappe “Kinder begegnen Mathematik”

o   Kopiervorlagen

→ untersch. Schwierigkeitsgrade

→ systematisch fördernd

Lehrmittel “Mathematik Primarstufe” und Aufbau

·        An LP 21 orientiert

·        Leistungsüberprüfung

 

Lehrwerkteile:

·        SuS: Themenbuch (ab 2. Kl.), Arbeitshefte, Filme/Fertigkeitstraining, Digital ab 4. Klasse (wahlweise)

·        LP: Handbuch (auch digital), Lösungen, Arbeitsblätter, Rote-Faden-Übersichten

·        Aufbau:

o   Gelb: Zahlen und Ziffern (K1: Zahl und Variable)

o   Orange: Addition und Subtraktion (K1)

o   Rot: Multiplikation und Division (K1)

o   Blau: Geometrie (K2: Form und Raum)

o   Grün: Grössen und Daten (K3: Grössen, Funktionen, Daten und Zufall)

Handbuch “Mathematik Primarstufe”

o   36 Themen pro Schuljahr (Wochenthemen) → Vorschlag für Jahresplanung (inkl. Seitenangaben)

o   Alle Themen Strukturell gleich aufgebaut

o   Hauptzielsetzung (max. 1 Seite) pro Thema (Didaktische Hinweise, Tipps, hinweise für SHP) + Auflistung Materialien

o   Kernstoff (rot) immer am Anfang (Aufgaben = Quadratisches Feld)

o   Zur Auswahl (blau), Aufgaben rundes Feld

→ Differenzierung

o   Kopiervorlagen (Schwierigkeit mit Punkten 1-3)

Themenbuch “Mathematik Primarstufe”

o   Erste Doppelseite: Kernstoff

o   Zweite Doppelseite: zur Auswahl (Schwierigkeitsgrad zunehmend)

o   Aufgaben zum weiterdenken: Ende der Doppelseite oder hinten im Buch (Kl. 4-6)

Arbeitshefte “Mathematik Primarstufe”

o   3-5 Seiten pro Thema

o   Mittleres Niveau (2 Punkte)

Mathematen “Mathematik Primarstufe”

interaktive Werkzeuge, mit denen mathematische Zusammenhänge explorativ erforscht werden können

Filme und Fertigkeiten “Mathematik Primarstufe”

o   Fertigkeitstraining 1-6 mit 12 Aufgaben pro Schuljahr auf 2 Niveaus

o   Dashboard für LP mit Überblick zum Stand der Klasse

o   Erklärfilme 4. Bis 6. Klasse (40-50 Filme)

Differenzierung “Mathematik Primarstufe”

o   Aufgaben mit unterschiedlichen Schwierigkeitsgraden (Punktesystem)

o   Offene bzw. reichhaltige Aufgaben mit verschiedenen Lösungswegen

o   Wahlmöglichkeiten bezüglich Anzahl, Dauer und Sozialform der Bearbeitung

o   Weiterführende Aufgaben («Zum Weiterdenken»)

Erarbeitung eines (Wochen-)themas in “Mathematik Primarstufe” I

(Bild)

Erarbeitung eines (Wochen-)themas in “Mathematik Primarstufe” II

(Bild)

Struktur (Wochen-)thema in Handbuch “Mathematik Primarstufe” I

(Bild)

Struktur (Wochen-)thema in Handbuch “Mathematik Primarstufe” II

(Bild)

Didaktische Hinweise (Grundsätze) “Mathematik Primarstufe”

·        Mathematik für alle SuS (untersch. Lernprozesse berücksichtigen/untersch. Niveaus)

·        Aktiv auf eigenen Wegen lernen (aktive Auseinandersetzung den Vorkenntnissen entsprechend – versch. Zugänge)

·        Miteinander und voneinander lernen (festhalten, austauschen, voneinander lernen)

·        Prozessbezogene Kompetenzen erwerben (durch forschen, argumentieren, begründen, darstellen, interpretieren, etc)

·        Mathe verstehen und beschreiben (vernetzung von verhandenem Wissen und neuen Erfahrungen)

·        Mathematik auf Grundfertigkeiten (Routinen) aufbauen

o   Verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt und Versprachlicht (Sprechblasen)

o   Einfache Sprache

o   Verschiedene Darstellungsebenen (Untersch. Lern- und Lösungswege)

Grundvorstellungen Addition/Subtraktion (→ Siehe LZ 4)

Schlüsselaufgaben Einspluseins-Tabelle (→ Siehe LZ 13)

Repräsentationsebenen Addition/Subtraktion (→ siehe LZ 4)

o   Subtrahieren auf dem 20er-Feld: Plättli umdrehen und weglegen oder angestrichene Kreise durchstreichen

o   Ab 3. Klasse: Systemholz (Würfel = 1000, Plättli = 100, Stäbli = 10, Würfeli = 1)

→ 4. Klasse: Analogien → Nullen anhängen

Grundvorstellungen Multiplikation

o   Handlung: zeitlich-sukzessiv (dynamischer Vorgang)

→ Wiederholung derselben Handlung

→ 3x in Keller, jedes Mal 2 Flaschen: 2+2+2=6 (fortgesetzte Addition) → 3*2=6

o   Zustand: räumlich-simultan (statische Situation)

→ Zusammenfassen, Anordnung betrachten

→ 3 Tische im Raum, jeder hat 4 Beine: 3*4=12

→ Darstellung Punktefeld (mittlere Abstraktion)

o   Kombinatorisch:

→ 4 T-Shirts, 2 Hosen, 2 Paar Schuhe: 4*2*2=16

→ Baumdiagramme als geeignete Darstellungsmittel

Grundvorstellungen Division

Verteilen (statisch/dynamisch)

o  Statisch: simultanes Bilden einer vorgegebenen Anzahl Teilmengen

→ 15 Kinder haben insg. 75 Stifte, jedes Kind hat gleich viele → wie viele hat jedes Kind?

o  Dynamisch: sukzessives Verteilen auf eine vorgeg. Anzahl Teilmengen

→ A. verteilt 75 Stifte an 15 Kinder → Wie viele bekommt jeder?

Aufteilen (statisch/dynamisch)

o  Statisch: simultanes Bilden gleichmächtiger Teilmengen

→ Auf jedem Tablett stehen 6 Gläser, insgesamt 30 → wie viele Tabletts?

o  Dynamisch: sukzessives Bilden gleichmächtiger Teilmengen

→ A. stellt immer 6 Gläser auf ein Tablett, 30 Gläser → wie viele Tabletts?

Repräsentationsebenen Multiplikation/Division

Rechengesetze

Kommutativ (Vertauschung)

Assoziativ (Verbindung) 

Distributiv (Verteilung)

Konstanzsätze (Ausgleich)

Kommutativgesetz

o   Wenn Reihenfolge Summanden/Faktoren vertauscht → Summe/Produkt unverändert (a+b = b+a oder a*b = b*a)

→ Tauschrechnungen mit Würfeln

→ Vorgegebene Zahlen, verschiedene Rechnungen

Assoziativgesetz

o   Summanden/Faktoren von Summe/Produkt dürfen beliebig zusammengefasst werden (a+b+c+d = (a+b)+(c+d) = a+(b+c)+d) = … oder a*b*c*d = …)

→ Rechne aus. Überlege, welche Zahlen du zuerst verwenden willst.

Distributivgesetz

o   Zusammenhang von Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion (a*(b+c) = a*b + a+c oder (a-b):c = a:c – b:c oder …)

→ Zehner und Einer oder Punkte auf dem Punktefeld sinnvoll ordnen: 3*27 = 3*20 + 3*7

Konstanzsätze

→ Addition & Multiplikation (gegensinniges Verändern): Summe bleibt gleich, wenn Summand 1 + x und Summand 2 – x  (7+3 = 8+2); Produkt = Faktor 1 x und Faktor 2 : x (84 = 16*2)

→ Subtraktion & Division (gleichsinniges verändern): Differenz bleibt gleich, wenn Minuend und Subtrahend gleichsam vergrössert (+) oder verkleinert (-) werden (14-5 = 15-6); Quotient = Dividend und Divisor gleichsam vergrössert (*) oder verkleinert (:) werden (28 : 4 = 14 : 2)

Grundgedanken Multiplikation

o   Neue Operation verstehen → Grundvorstellungen aufbauen

o   Erkennen multiplikative Strukturen

o   Netz von Beziehungen

Grundgedanken Division

o   Aufbau Operationsverständnis über Handlungen (Aufteilen/Verteilen)

→ Handlungsschema und Rechenschema stimmen meist nicht überein

o   Zusammenhang mit Multiplikation (Umkehrfunktion)

Bedeutung Grundvorstellungen für LP

o   Alle Grundvorstellungen für Verständnis aller Grundoperationen verstehen

o   Verständnis der Grundoperationen (Rechengesetze) für das Operieren

Additives und Multiplikatives Netzwerk (Voraussetzungen & Bedeutung)

Voraussetzungen:

o   Grundvorstellungen aufbauen

o   Flexibler Wechsel zw. Repräsentationsebenen

 

Bedeutung Netzwerke aufbauen:

o   Zahlbeziehung für Rechnen nutzen lernen

o   Einsicht in Beziehungen zwischen Rechnungen gewinnen

o   operatives (= auf Handlung/umfassendes System integriertes) Denken

o   Unbekannte Aufgaben mit bekanntem verbinden

o   Einblick in Operationseigenschaften (z.B. Rechengesetze) erwerben

Additives Netzwerk

(→ Einspluseins-Tabelle)

o   Schlüsselaufgaben: Addition mit 0 & 10, mit 1, mit 5, Verdoppelungen, Zerlegung der Zahl 10

o   Nachbarrechnungen (7+9, 6+9, 8+9, 7+8, … oder 10-4, 10-5, 10-6, …) → Zusammenhänge diskutieren

Multiplikatives Netzwerk

(→ Einmaleins-Tabelle)

o   Schlüsselrechnungen: Multiplikation mit 0 & 10, 1, 5 und die Quadratzahlen

o   Nachbarrechnungen (6*7 → 6*6, 6*8, 5*7, 7*7 )

o   Zusammenhänge Distributivgesetz (6*9=54, deshalb weiss ich auch 7*9, 5*9 und 9*6)

o   Verwandte Rechnungen (von 6*4): Nachbarrechnungen (5*4), Tauschrechnung (4*6), Halbieren (3*4), Verdoppeln (12*4), Gegensinnig verändern (12*2)

→ Arbeit mit Reihenklavier: aus Verwandten Rechnungen andere ableiten

→ Numerisches Netzwerk mit verwandten Rechnungen aufzeichnen lassen

→ Erweitern: Multiplizieren mit Zehnerpotenzen

Zentrale Begriffe Zahlensysteme:

Ziffer, Zahl, Ziffernwert, Stellenwertsystem, Stellenwerttafel / -tabelle, Wertziffer, Zehnerpotenzen, Bündelung, fortgesetzte Bündelung, Zahlensystem, Zweier-, Dreier-Zahlensysteme, Basis, Zehnersystemholz, Stellenwertkarten

·        Ziffer: einzelnes Zeichen (0–9)

·        Zahl: Menge/Grösse bestehend aus Ziffern (z.B. 345)

·        Ziffernwert: fester Wert einer Ziffer an sich (z.B. die 5 steht immer für „fünf“)

·        Stellenwertsystem: Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position ab (z.B. Einer, Zehner)

·        Stellenwerttafel / -tabelle: Zeigt, welche Stelle welchen Wert hat (Einer, Zehner, …)

·        Wertziffer: Die Ziffer zusammen mit ihrem Stellenwert (z.B. die 5 in 345 = 50).

·        Zehnerpotenzen: Grundlage des Dezimalsystems (10¹ = 10, 10² = 100, …)

·        Bündelung: Zusammenfassen von Einheiten (10 Einer = 1 Zehner oder 5 Finger = 1 Hand)

·        fortgesetzte Bündelung: Bündelung über mehrere Stellen (10 E = 1 Z, 10 Z = 1 H, …)

·        Zahlensystem: Allgemeine Art, wie Zahlen dargestellt werden (z.B. Dezimalsystem)

·        Zweier-, Dreier- Zahlensysteme mit anderer Basis (z.B. Binärsystem mit Basis 2)

·        Zehnersystemholz (Stäbchen, Würfel, etc.) & Stellenwertkarten 

Prinzipien Dezimalsystem

• Bündelungsprinzip

• Stellenwertprinzip

• Additives Prinzip

• Multiplikatives Prinzip

Bündelungsprinzip

Fortgesetzte Zehnerbündelung (10 Einer = 1 Zehner, 10 Zehner = 1 Hunderter, usw.)

Stellenwertprinzip

Stellenwertschreibweise (Zehnerpotenzen) = Grösse der Bündel

→ 2148 = 2 x 10³ (Tausender) + 1 x 10² (Hunderter) + 4 x 10¹ (Zehner) + 8 x 10⁰ (Einer)

→ Stellenwerttabelle, Stellenwertkarten, Zehnersystemholz

→ Ziffernwert: 4, Stellenwert: Zehner, (Zahlen-)Wert: 40

Additives Prinzip

Gesamtwert Zahl = Summe der Werte der einzelnen Stellen

→ 486 = 400 + 80 + 6

Multiplikatives Prinzip

Jede Ziffer gibt ausserdem Anzahl Bündel (nach Stellenwert) an

→ 486 = 4 x 100 + 8 x 10 + 6 x 1

Zahlen im alten Ägypten

Hieroglyphen für 1, 10, 100, 1000, usw.

Römische Zahlzeichen (Vergleich Dezimalsystem)

o   Alternierende Fünfer-Zweier-Bündelung (DS: Zehnerbündelung)

o   Jede Ziffer gibt Bündelungseinheit an (DS: Stellung = Bündelungseinheit)

o   Jede Ziffer hat einen festen Wert (DS: Wert = Position in Zahl)

o   Jede Ziffer zeigt nur den Zahlenwert an (DS: jede Ziffer = Zahlen- & Stellenwert)

o   Den Zahlenwert erhält man durch Addition => keine 0 (DS: nicht besetzte Stellen müssen mit 0 gekennzeichnet werden)

o   Grössere Zahlen => man ständig weitere Zeichen (DS: 10 Ziffern für alle Zahlen)

o   Zahlwörter sind lang und kompliziert zu lesen, schriftliche Operationen sind kompliziert durchzuführen.

Verschiedene Zahlsysteme (nicht Prüfungsrelevant)

Zehnersystem, Zwölfersystem, Fünfersystem, Sechzigersystem

Verschiedene Stellenwertsysteme

o   Zehner-System

o   Siebner-System (7³ = 343, 7² = 49, 7¹ = 7, 7⁰ = 1)

o   Sechser-System (6³ = 216, 6² = 36, 6¹ = 6, 6⁰ = 1)

o   Dreier-System (3³ = 27, 3² = 9, 3¹ = 3, 3⁰ = 1)

o   Dualsystem (2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1)

Umrechnung Dezimalsystem in andere Systeme und umgekehrt

→ Grundsätzlich immer mit Tabellen arbeiten

Dezimalsystem

o   2 x 10³ + 1 x 10² + 3 x 10¹ + 7 x 10⁰ = 2173

Siebner-System

o   7⁴ = 2401 (zu gross)

o   2173 : 7³ = 6 (und Rest) → 2173 – 6 x 7³ = 115

o   115 : 7² = 2 (und Rest) → 115 – 2 x 7² = 17

o   17 : 7¹ = 2 (und Rest) → 17 – 2 x 7¹ = 3

=> 2173 (Dezimal) = 6223 (Siebner-System)

Umkehrung: 6 x 7³ + 2 x 7² + 2 x 7¹ + 3 x 7⁰ = 2173

Sonderfall Dualsystem (Binärsystem)

o   Trick (nur im Binär): immer durch 2 Teilen und Rest von unten nach oben lesen

→ 62:2 = 31 R0 → 31:2 = 15 R1 → 15:2 = 7 R1 → 7:2 = 3 R1 → 3:2 = 1 R1 → 1:2 = 0 R1

=> 111110

Aufbau der Zahlraumerweiterung (1. - 6. Klasse) im obligatorischen Lehrmittel

→ Gelb im Lehrmittel

o   1. Klasse: bis 24

→ diese Zahlen muss man auswendig lernen (Sprechweise), danach wird’s regelmässig

→ Themen grundsätzlich nur Zahlraumerweiterung

o   2. Klasse: bis 100

→ Themen: halb Zahlraum, halb Addition/Subtraktion

o   3. Klasse: bis 1’000

→ Themen: Grossteil Zahlraum, ergänzt mit Längen/Uhrzeit, Addition/Subtraktion

o   4. Klasse: bis 1'000’000

→ Themen: Grossteil Zahlraum, ergänzt mit Längen/Uhrzeit, Addition/Subtraktion

o   Ab 5. Klasse: Brüche und Dezimalzahlen

Aufbau der Zahlraumerweiterung (1. - 6. Klasse) im obligatorischen Lehrmittel

genereller Aufbau und Ziele

·        Eigenschaften und Beziehungen von/zwischen Zahlen erkennen und Beschreiben

Aufbau:

1.      Überblick & Vorkenntnisse aktivieren

a.      Orientierung im Zahlenraum

b.      Zählen, Anzahlen bestimmen, Bündeln

c.       Zahlen lesen und schreiben

2.      Genau hinschauen

a.      Einsatz didaktischer Materialien (→ Zahlaspekte)

b.      Dezimales Stellenwertsystem

c.       Zahlbeziehungen

Ziele:

o   systematische Fortsetzung des Bündelungsprinzips,

o   systematische Fortsetzung des Stellenwertprinzips,

o   Sprechweise von Zahlen,

o   abstrahierte und flexibilisierte Darstellung von Zahlen auf Zahlenstrahl 

Didaktische Materialien: Grundlegendes

·        Unterstützung Aufbau flexibler Vorstellungen

·        Verschiedene Materialien = Verschiedene Aspekte, Wechsel zw. Repräsentationsebenen

·        Sie sind Lernstoff (regelmässiger Gebrauch, Fortsetzung, kleine aber gute Auswahl)

·        Zahlaspekte (Kardinal, Ordinal)

Didaktische Materialien (9)

Zahlenstrahl (unendlich) / Zahlenband (physisch, endlich) und Rechenstrich (Linie, auf der Zahlen geordnet werden, Abstände irrelevant)

Tafeln 100er-Tafel (2. Kl.), 1’000er-Leporello (3.Kl.), Millionenbuch (ab 4.Kl.)

Punktefelder 20er mit/ohne Wendeplättchen (1.Kl.), 100er (2.Kl.), 1’000er/kariertes Papier (3.Kl.), Millimeterpapier (ab 4.Kl.)

Zehnersystemholz

Stellenwertkarten & Stellenwerttafel H-Z-E (3.Kl.), HT-ZT-T-H-Z-E (4.Kl.), Dezimal (5.Kl.)

Mathematen

Zahlenstrahl, Zahlenband, Rechenstrich

o   Ordinalzahlaspekt (Reihenfolge)

o   Anordnung der Zahlen

Tafeln

o   Ordinalzahlaspekt (Reihenfolge)

o   Dezimale Systematik

o   Analogien

Punktefelder

o   Kardinalzahlaspekt

o   Strukturierte Anzahlerfassung/-darstellung

o   Bündelungsprinzip

Zehnersystemholz

o   Kardinalzahlaspekt

o   Bündelungsprinzip

o   Dezimale Systematik

Stellenwertkarten & Stellenwerttafel

o   Zahlschreibweise

o   Eigenwert/Stellenwert

o   Zahldarstellungen vernetzen

Mathematen

o   Virtueller Raum mit Visualisierungsmöglichkeiten, die real nicht möglich sind

Kopfrechnen (unter Ausnutzung von Strategien)

→ Grundbaustein für alle anderen Rechenmethoden

→ Herstellung von Beziehungen zw. Aufgaben (Rechengesetze nutzen)

→ Zahlenrechnen

→ Flexibel und schnell (Blitzrechnen) → Entlastung Gedächtnis bei komplexen Aufgaben

1. Grundlegung (Einsicht) → nicht zu früh auswendig lernen (Verständnis fehlt)

2. Automatisieren (Erhöhung der Schnelligkeit im Abrufen Kenntnisse / Fertigkeiten)

Schnelles Kopfrechnen

Halbschriftliches Rechnen (Notation Zwischenschritte oder Teilergebnisse)

→ Zentrum: Ökonomische Rechenart (Teil davon im Kopf)

→ Flexibles rechnen: Notationsweise/Rechenwege  nicht vorgegeben

→ Zahlenrechnen (nicht Ziffernrechnen)

→ Verschiedene Lösungsstrategien

Schriftliches Rechnen (konventionalisierte Verfahren (Algorithmen))

→ nur noch als «Abrundung»

→ Ziffernrechnen

Taschenrechner (Alltag und auch von Kindern)

→ Hilfsmittel (Ergebniskontrolle, entdeckendes Lernen, Ergebnisse Anwendungsaufgaben)

→ Rahmenbedingungen: Zahlvorstellungen, Kopfrechnen/halbschriftliche Strategien, Grössenverständnis

(Haupt-)Strategien des halbschriftlichen Rechnens (in Verbindung mit Rechengesetzen)

·        es gibt nicht «die Beste Strategie» (kommt auf Präferenz und Aufgabe/Zahlen an)

·        auch innerhalb der Strategien untersch. Strategien / Mischformen

Strategien:

·        Schrittweise → Assoziativ (Verbindung) & Distributiv (Verteilung)

·        Rechenvorteile nutzen (Hilfsaufgabe) → Konstanz (Ausgleich)

·        Ergänzen

·        «Stellenwert extra» (Stellenweise) → Assoziativ (Verbindung) & Distributiv (Verteilung)

·        Rechnung vereinfachen → Konstanz (Ausgleich) & Distributiv (Verteilung)

·        Tauschrechnung (Umkehraufgabe) → Kommutativ (Vertauschung)

Schrittweise

o   Addition: 209 + 479 → erst + 400 dann + 70 dann + 9

o   Subtraktion: 560 – 189 → erst - 100 dann - 80 dann – 9

o   Multiplikation: 15 x 34 → 15 x 30 = 450 dann 15 x 4 = 60 → Zwischenergebnisse Zusammenzählen

o   Division: 482 : 2 → 400 : 2 dann 80 : 2 dann 2 : 2 → Zwischenergebnisse Zusammenzählen

Rechenvorteile nutzen (Hilfsaufgabe)

o   Addition: 209 + 479 → erst + 480 dann – 4

o   Subtraktion: 560 – 189 → erst - 190 dann + 1

o   Multiplikation: 16 x 29 → 16 x 30 dann 16 x 1 → 480 - 16

o   Division: 232 : 8 → 240 : 8 dann 8 : 8 → 30 – 1