MATEMATIKA 2 [ETF]

VELIKA SKRIPTA (M2) ali u formatu flashcards

Примитивна функција

Деф

Нека је 𝑓 функција дефинисана на интервалу (𝑎,𝑏) (коначном или бесконачном). Ако постоји функција 𝐹 таква да је 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) (𝑎 < 𝑥 < 𝑏) тада кажемо да је 𝐹 примитивна функција функције 𝑓 на интервалу (𝑎,𝑏).

Теорема

А) Ако је 𝐹(𝑥) примитивна функција функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼, тада је и 𝐹(𝑥)+𝐶 (𝐶 ∈ ℝ) примитивна функција функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼. Доказ(предавања). (𝐹(𝑥) +𝐶)′ = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) (𝑥 ∈ 𝐼)

Б) Ако су 𝐹1(𝑥) и 𝐹2(𝑥) две примитивне функције функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼, тада (∃𝐶 ∈ ℝ)(∀𝑥 ∈ 𝐼) 𝐹1(𝑥)−𝐹2(𝑥) = 𝐶.

Доказ

(∀𝑥 ∈ 𝐼) (𝐹1(𝑥)−𝐹2(𝑥))′ = 𝐹1(𝑥)′−𝐹2(𝑥)′ = 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥) = 0 (∀𝑥 ∈ 𝐼) 𝐹1(𝑥)−𝐹2(𝑥) = 𝐶,за неко 𝐶 ∈ ℝ

Неодређени интеграл

Деф

Нека је 𝐹 произвољна примитивна функција функције 𝑓 на интервалу (𝑎,𝑏). Неодређени интеграл функције 𝑓, у ознаци ∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) дефинише се помоћу ∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) = 𝐹(𝑥)+𝐶, (𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.,𝑎 < 𝑥 < 𝑏).

Теорема

За примитивну функцију 𝐹(𝑥) функције 𝑓(𝑥) на интервалу 𝐼 важи:

• 𝑑∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)

• (∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥))′ = 𝑓(𝑥)

• ∫𝑑𝐹(𝑥)=𝐹(𝑥)+𝐶, 𝐶 ∈ℝ

Доказ

Важи 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) и ∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) = 𝐹(𝑥)+ 𝐶, одатле директно следе докази следећих својстава:

• 𝑑∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥) = 𝑑(𝐹(𝑥)+𝐶) = 𝑑𝐹(𝑥)+0 = 𝐹′(𝑥)𝑑(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑑(𝑥)

• (∫𝑓(𝑥)𝑑(𝑥))′ = (𝐹(𝑥)+𝐶)′ = 𝐹′(𝑥)+0 = 𝑓(𝑥)

• ∫𝑑𝐹(𝑥)=∫𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)+𝐶, 𝐶 ∈ ℝ.

Табела основних неодређених интеграла

Линеарност интеграла

Теорема

Ако функције 𝑓 и 𝑔 имају примитивне функције на интервалу (𝑎,𝑏) тада и функција 𝑥 ↦ 𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥),(𝛼,𝛽 ∈ ℝ) има примитивну функцију на (𝑎,𝑏) и важи једнакост ∫( 𝛼𝑓( 𝑥) +𝛽𝑔( 𝑥))𝑑𝑥 =𝛼 ∫𝑓( 𝑥)𝑑𝑥

Доказ

Како је 𝑑(𝛼∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝛽∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥) = 𝛼 𝑑∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝛽 𝑑∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = = 𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥+𝛽𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = (𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥))𝑑𝑥. Закључујемо да је функција 𝑥 → 𝛼∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +𝛽∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 једна примитвна фунцкија функције 𝑥 → 𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥), што је и требало доказати.

Доказ

Користимо својство 2 из теореме 1.2 и тражимо извод леве и извод десне стране:

L′ = (∫(𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥))𝑑𝑥) ′ = 𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥)+𝐶,∀𝑥 ∈ (𝑎,𝑏)

D′ = (𝛼∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥+𝛽∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥+𝐶) ′ = 𝛼(∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥) ′ +𝛽(∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥) ′ = 𝛼𝑓(𝑥)+𝛽𝑔(𝑥)+𝐶1,∀𝑥 ∈ (𝑎,𝑏).

Смена променљиве у неодређеном интегралу

Теорема

Смена променљиве у неодређеном интегралу

✓ (смена 𝑥 =𝜑(𝑡)) Ако су функције 𝑓,𝜑,𝜑′ непрекидне, тада је ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝜑(𝑡)) 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 +𝐶

✓ (смена 𝜑(𝑥)= 𝑡) Ако функција 𝜑 има инверзну функцију 𝜓 = 𝜑−1 и ако су функције 𝑓,𝜑,𝜓,𝜓′ непрекидне, тада је ∫𝑓(𝜑(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑡) 𝜓′(𝑡)𝑑𝑡+𝐶

Доказ

Ако је 𝑥 = 𝜑(𝑡), (𝑑𝑥 = 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡) онда је 𝑑/𝑑𝑥 (∫𝑓(𝜑(𝑡)) 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶) = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 ∙ 𝑑 𝑑𝑡 (∫𝑓(𝜑(𝑡)) 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 + 𝐶) = 1 𝜑′(𝑡) =𝑓(𝜑(𝑡)) = 𝑓(𝑥)

Према томе, прва једнакост је тачна. Друга се доказује на исти начин.

Додатак табличним интегралима; наведени интеграли се добијају од табличних увођењем погодне смене:

Таблични интеграли добијени сменом

Правило парцијалне интеграције

Теорема

Ако су 𝑢 и 𝑣 непредикне и диференцијабилне функције променљиве 𝑥 са непрекиндим изводима 𝑢′и 𝑣′ онда је ∫u(x)dv(x) =𝑢( 𝑥)𝑣( 𝑥) − ∫𝑣( 𝑥)𝑑𝑢( 𝑥) +𝐶 .

Доказ

Како је 𝑑(𝑢𝑣) = 𝑢𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑢, имамо да је 𝑢𝑣 =∫𝑑(𝑢𝑣) =∫𝑢𝑑𝑣+∫𝑣𝑑𝑢+𝐶 одакле се добија тражена једнакост.

Доказ

Имамо да важи (𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)) ′ = 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)+𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) Сада у претходној једанкости можемо да интегралимо по променљивој 𝑥 и леву и десну страну чиме добијамо 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) = ∫𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑢(𝑥)𝑑𝑣(𝑥)+∫𝑣(𝑥)𝑑𝑢(𝑥)

Након сређивања добијамо тражену једнакост.

Карактеристични примери:

✓ ∫𝑃𝑛(𝑥){𝑒𝑥,𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑐𝑜𝑠𝑥}𝑑𝑥 𝑢 = 𝑃𝑛(𝑥),𝑑𝑣 = {…}

✓ ∫𝑃𝑛(𝑥){(𝑙𝑛𝑥)𝑘,(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥)𝑘,(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑘,(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)𝑘}𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛(𝑥),𝑢 = {…} k-пута парцијална интеграција

✓ ∫𝑒𝑎𝑥{sin(𝑏𝑥),cos(𝑏𝑥)}𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒𝑎𝑥,𝑑𝑣 = {…} два пута парцијална интеграција

Свођење квадратног тринома на канонски облик

Сада можемо увести смену t = 𝑥 + 𝑏/2𝑎; добијени облик квадратног тринома назива се канонски облик. Додатак таблици интеграла; интегали са квадраним триномима од којих се неки могу решити свођењем квадратног тринома на канонски облик.

Метода неоређених коефицијената

∫𝑃𝑛(𝑥)𝑒𝑎𝑥𝑑𝑥 = 𝑄𝑛(𝑥)𝑒𝑎𝑥 +C

Q𝑛(𝑥) је непознати полином степена 𝑛 чије коефицијенте треба одредити.