Estimation ponctuelle et intervalle de confiance

Sur quel démarche repose l’inférence statistique

L’inférence statistique repose sur la démarche inductive qui consiste à entendre (=extrapoler) les résultats mesurés sur un échantillon d’études à une population cible :

• Observations et mesures dans un échantillon

• Conclusions générales tirées dans la population-cible en tenant compte de la part de variabilité liée au hasard

Dans quel contexte on utilise l’inférence statistique

L’inférence statistique est utilisée lorsque la population totale ne peut pas être observée entièrement ou lorsqu’on étudie des phénomènes de variabilité

Qu’est ce qu’une estimation

Une estimation est une valeur calculée à partir d’un échantillon de taille n :

• Soit X une variable aléatoire avec un paramètre de distribution θ inconnu à étudier ← Estimation = grandeur t calculée dans un échantillon qui approche θ la vraie valeur du paramètre dans la population

• Si l’échantillon est représentatif alors la valeur estimée t sera assez proche du paramètre θ mais peu de chance d’être exactement la vraie valeur

Quelles sont les deux types d’estimations existantes et leurs caractéristiques

• Estimation ponctuelle = l’estimation est une seule valeur numérique

  • Valeur obtenue différente pour chaque nouvel échantillon à cause des fluctuations d'échantillonnage

  • Peut être une moyenne, une variance, une proportion, ...

• Estimation par intervalle = l’estimation est une plage de valeurs

  • L’intervalle a une grande probabilité de contenir la vraie valeur du paramètre

L’estimation ponctuelle suffit-elle seule

Non, l’estimation ponctuelle seule n’est pas suffisante car elle ne fournit aucune information sur la précision des estimations

Qu »est-ce qu’un intervalle de confiance

Il s’agit d’un intervalle centré sur l’estimation ponctuelle donc l’estimation ponctuelle est toujours contenue dans l’intervalle de confiance

À quoi est associé l’intervalle de confiance

Il est associée à un niveau de confiance = 1 - α ce qui signifie que :

• L’intervalle a une grande probabilité ( 1 - α ) de contenir la vraie valeur inconnue du paramètre

• IC = intervalle de valeurs plausibles pour la vraie valeur du paramètre en admettant un risque d’erreur α ← le plus souvent α = 5% ce qui correspond à un intervalle de confiance de 95%

À quoi correspond l’intervalle de confiance à 95%

Cette intervalle de confiance à 95% est un intervalle ayant 95% de chance de contenir la vraie valeur du paramètre dans la population

• Qu’est ce qu’un biais

Un bais désigne des erreurs systématiques dues à la méthode qui sont complètement différentes des erreurs aléatoires dues aux fluctuations d’échantillonnage

Quels sont les variables quantitatives nécessaires dans des estimations ponctuelles et à quoi correspondent-elles

• Moyenne (m) ← Correspond à l’estimation de µ, la vraie moyenne dans la population

• Variance (s²) ← Correspond à σ², la vrai variance dans la population

• Écart type (s) ← Correspond à la racine carrée de la variance

À quoi correspond la proportion p ou fréquence relative

Il s’agit de π vraie proportion dans la population

Qu’est ce que l’étendue

Il s »agit de la différence entre la bonne supérieure et la borne inférieure

En quoi l’étendue quantifie la précision de l’estimation

Plus l’étendue est faible plus la précision est grande

De quels paramètres l’étendue dépend

Il dépend de la taille de l’échantillon n, le risque α, de la variabilité dans le cas de la moyenne et de la fréquence relative dans le cas de la proportion

En quoi l’étendue est dépendant du risque α

Quand α diminue, l’intervalle de confiance est plus large

En quoi l’étendue est dépendante de la variabilité dans le cas d’une moyenne

Plus la variance et l’écart type sont élevés (échantillon hétérogène) plus l’étendue est grande ← plus la précision est faible

Pour quel valeur de p l’étendue est maximal et qu’est ce que cela entraine

Étendue maxima pour p = 0,5 = 50% ← Précision maximale