analzie

Funkcijos trūkio taškų a.

Trūkio taškai: Jei funkcijos riba neegzistuoja arba nesutampa su funkcijos reikšme f(x0).

7.22

Tolydžio f-jos a. (abu)

Poaibio a.,

Aibė A yra aibės B poaibis, jei visi aibės A elementai yra ir aibės B elementai, A ⊂ B.

lygių aibių a.,

A = B, jei jos turi tuos pačius elementus

aibių sąjungos/

Aibių A ir B sąjunga vadiname aibė, kurios elementai priklauso bent vienai aibei. A ∪ B.

sankirtos/

Aibių A ir B sankirta vadinama aibė, kurios elementai priklauso kiekvienai aibei, A ∩ B.

skirtumo/

Aibių A ir B skirtumu vadinama aibė, kurios elementai priklauso aibei A, bet nepriklauso B, A \ B.

papildinio a.

Aibės A papildinys yra aibė Ā, sudarytų iš tų (universalios aibės U) elementų, kurie nėra aibės A elementai Ā = U \ A

Raselo paradoksas;

Klasikinis paradoksas, parodantis problemą su savireferencinėmis aibėmis: 'Ar aibė, kuri savęs kaip elemento neturi, priklauso sau?'

Y={X:X ∈(nubrauktas) X}         Klausimas: ar aibė Y∈ Y?

Funkcijos vaizdo ir pirmavaizdžio a

- Vaizdas: Aibės B elementas b=f(a) vadinamas elemento a vaizdu.

- Pirmavaizdis: Aibės B b=f(a) elementas a vadimas pirmavaizdžiu

A ir B yra dvi aibės. Jei pagal tam tikrą taisyklę f kiekvienam aibės A elementui priskiriamas vienas ir tik vienas aibės B elementas, tai sakome, kad f yra funkcija . f: A -> B

Injekcija:

Kai visi elementai turi skirtingus vaizdus, tai tokia funkcija vadinama injekcija

Siurjekcija:

Kai visų vaizdų aibė sutampa su B aibe (f(A)={f(a), a∈A}=B), tai funkciją f vadinsime siurjekcija.

Bijekcija:

Kai funkcija kartu ir siurjekcija, ir injekcija, tai ją vadiname bijekcija.

Ekvivalenčios aibės:

Aibes A ir B vadinsime ekvivalenčiosiomis, jei egzistuoja bijekcija f: A -> B. Žymesime A ~ B.

- Skaičiosios aibės:

Aibės, ekvivalenčios natūraliųjų skaičių aibei ℕ yra vadinamos skaičiosiomis.

Racionaliųjų skaičių aibė ℚ yra skaičioji aibė

Įrodymas: ℚ={m/n, m∈ℤ, n∈ℕ}.  Fiksuotam k∈N apibrėžkime Qk={m/k: m∈Z}

• Kiekviena Qk​ yra skaiti, nes atvaizdis m↦m/k yra bijekcija tarp Z ir Qk​, o Z yra skaiti aibė.

• Pastebime, kad Q=⋃^∞(k=1)Qk

• Pagal teoremą 3.2 Q yra skaiti.

Realiųjų skaičių atkarpa [0,1] nėra skaičioji aibė.

- Intervalai:

Uždaras intervalas ([a,b] : a,b∈ℝ), jei visiems x iš šios aibės teisinga a≤x≤b.

Atviras intervalas ( (a,b) : a,b∈ℝ), jei visiems x iš šios aibės teisinga a<x<b.

Pusiau atviras/uždaras intervalas ( (a,b] : a,b∈ℝ arba [a,b) : a,b∈ℝ), jei visiems x iš šios aibės atitinkamai teisinga a<x≤b arba a≤x<b.

Aplinka:

Tegul x₀ yra taškas ant realiųjų skaičių tiesės, o δ>0 kažkoks realusis skaičius. Intervalą (x₀ – δ, x₀ + δ) vadinsime x₀ taško δ aplinka.

Seka:

Tegul A – bet kokių elementų aibė, tada kiekvieną funkciją ϕ : ℕ -> A vadinsime aibės A elementų seka

- Riba:

lim(n → ∞) an = L, jei ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n > N, |an - L| < ε.

Koši kriterijus:

|a_n - a_m| < ε bet kokiam ε > 0 ir dideliems m, n.

Teorema 7.3 (Ribos vienatis) Seka {an} negali turėti dviejų˛ skirtingu˛ ribu˛.

Sekos aprėžtumų a.

Seką {a_n} vadinsime: aprėžta iš viršaus, jei egzistuoja konstanta  M tokia, kad a_n ≤ M, ∀n; aprėžta iš apačios, jei egzistuoja konstanta ˙ m tokia, kad a_n ≥ m, ∀m; aprėžta (aprėžta iš viršaus ir iš apačios), jei egzistuoja konstantos ˙ M ir m tokios, kad m ≤ a_n ≤ M, ∀n, jei egzistuoja  konstanta K > 0, tokia kad |a_n| ≤ K ∀n.

Teorema 7.4 Kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta. Įrodymas:

Tegul lim(n → ∞)  a_n=A ir ε >0. ∃ atviras intervalas (A- ε, A+ ε), kuriam priklauso visi sekos a_n nariai nuo tam tikro N, jau n>Nε. Tik a1,...,an_ε narių nepriklauso šiam intervalui. Taigi, tik baigtinės narių sk. nepriklauso intervalui. Vadinasi galima išrinkti didžiausią ir mažiausią iš jų.

supremumo/infimumo a

Skaičiu˛ M vadinsime aibės E supremumu, jei ∀x ∈ E teisinga x ≤ M arba  ∀ϵ > 0, ∃x^* ∈ E : M − ϵ < x^* ≤ M.

Skaičiu˛ M vadinsime aibės E infimumu, jei ∀x ∈ E teisinga x ≥ M arba ∀ϵ > 0, ∃x^* ∈ E : m < x^* ≤ m + ϵ.

Sekų monotoniškumas:

Seką {a_n} vadinsime:

1)     nemažėjančia, jei  a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a_n ≤ a_n+1 ≤ ...;

2)     nedidėjančia, jei  a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ an+1 ≥ ...;

3)     monotoniška, jei seka arba nemažėjanti, arba nedidėjanti.

Funkcijos ribos a. (abu)

Teorema 7.12?

dvieju policininku teorema

Ribos iš kairės ir dešinės:

Funkcija gali turėti ribas iš kairės lim(x → a⁻) f(x) ir dešinės lim(x → a⁺) f(x), kurios gali skirtis

Teorema apie rysi tarp f-jos ribos ir ribu is kaire/desines rysi su i

Skaičiu˛ju˛ aibiu˛ skaičioji sąjunga yra skaičioji aibe.