Fonctions de deux variables

Boules et parties ouvertes

Une boule ouverte de centre $a\in \mathbb{R}^2$, de rayon r>0 est l’ensemble :

$B\left(a,r\right)=$ x\in \mathbb{R}^2,\eta(x-a)<r

Une partie ouverte de $\mathbb{R}²$ est un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}²$ qui vérifie \forall a\in E,\exists r>0 $B\left(a,r\right)\subset E$

Boules et parties fermées

Une boule fermée de centre $a\in \mathbb{R}^2$, de rayon r>0 est l’ensemble :

$B\left(a,r\right)=$ $x\in\mathbb{R}^2,\left\Vert x-a\right\Vert\le r$

Une partie fermée de $\mathbb{R}²$ est un sous-ensemble $E$ de $\mathbb{R}²$ dont le complémentaire est un ouvert

Définition du graphe de $f(x,y)$

On appelle graphe de $f$ l’ensemble :

{$(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\vert(x,y)\in E$ et$z=f(x,y)$}

Définition des lignes de niveau $\lambda$ de $f$

On appelle ligne de niveau $\lambda$ de $f$ l’ensemble

$f^{-1}(\lambda)=$ {$(x,y)\in E\vert f(x,y)=\lambda$}

La ligne de niveau $\lambda$ de $f$ est un sous-ensembles de $\mathbb{R}²$ qui est l’intersection du graphe avec le plan horizontal d’équation $z=\lambda$.

Définitions des applications partielles

Les applications partielles associées à $f\in F(E,\mathbb{R})$ au point $a=(a_1,a_2)\in E$ sont les applications :

→ $f(\cdot,a_2)\colon x\rightarrow f(x,a_2)$

→$f\left(a_1,\cdot\right)\colon x\rightarrow f(a_1,x)$

Théorème de la limite des applications partielles

Si $f\in(E,\mathbb{R})$ admet une limite $l$ en $a=(a_1,a_2)\in E$ alors les fonctions partielles admettent la même limite en $a_1$ et $a_2$.

Définition de la continuité

→ $f$ est continue en $a \in E$ ssi $\lim_{a}f=f(a)$

→ $f$ est continue sur $E$ ssi $f$ est continue en tout point $a \in E$

Théorème de la continuité des projections canoniques

Les applications $\left(x,y\right)\rightarrow x$ et $(x,y)\rightarrow y$ sont continues sur $\mathbb{R}²$. Ce sont les projections canoniques.

Définitions de la dérivée suivant un vecteur

La dérivée en $a$ suivant le vecteur $u$, notée $D_{u}f\left(a\right)$ est, si elle existe, la dérivée en 0 de $\phi_{u}\colon t\rightarrow f(a+tu)$.

Définitions des dérivées partielles

Soit $f\colon\left(x_1,x_2\right)\rightarrow f\left(x_1,x_2\right)$, les dérivées partielles en $a=(a_1,a_2)$ sont :

$\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(a\right)$ et $\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(a\right)$

Ce sont les dérivées en $a_1$ et $a_2$ des fonctions partielles

Définitions des fonctions de classe $C^1$

$f\in F(E,\mathbb{R})$ est de classe $C^1$ sur l’ouvert $E$

ssi $f$ admet des dérivées partielles $\forall a \in E$ et

les fonctions dérivées partielles $D_1 f$ et $D_2 f$

sont continues sur $E$.

Théorème : Développement limité d’ordre 1

Si $f$ est de classe $C^1$ sur $E$ ouvert alors

$\forall a =(a_1,a_2)$ et $\forall x =(x_1,x_2)$ de $E$

$$f(x)=f(a)+\left(x_1-a_1\right)\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(a\right)+\left(x_2-a_2\right)\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(a\right)+\left\Vert x-a\right\Vert\varepsilon(x)$$

Théorème de la dérivée selon $u$

Si $f \in C^1(E)$ alors $\forall a = (a_1,a_2)$ et

$\forall u = (u_1,u_2) \in \mathbb{R}²$, $f$ admet une dérivée en $a$ selon $u$ :

$$D_{u}f(a)=u_1\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(a\right)+u_2\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(a\right)$$

Dérivée d’une composée

$$f^{\prime}(\phi_1\left(t\right),\phi_2\left(t\right))=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(\phi\left(t\right)\right)\phi_1^{\prime}\left(t\right)+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(\phi\left(t\right)\right)\phi_2^{\prime}\left(t\right)$$

Formule de la chaine

Si $g\colon\left(x,y\right)\rightarrow\left(u\left(x,y\right),v\left(x,y\right)\right)$ et $f\colon\left(u_1,u_2\right)\rightarrow f\left(u_1,u_2\right)$ alors :

$h=f\cdot g$ est de classe $C^1$ et

$$\frac{\partial h}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$$

$$\frac{\partial h}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$$

Théorème des points critiques

Soit $f \in C^1$ sur $E$ ouvert de $\mathbb{R}²$.

Si $f$ présente un extremum local en $a \in E$

alors $\frac{\partial f}{\partial x}\left(a\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(a\right)=0$

Définition maximum, minimum, extremum

La fonction $f:E→\mathbb{R}$ définie sur $E\subset \mathbb{R}²$ présente :

→ Un maximum absolue en $a$ ssi $\forall x\in E\Rightarrow f(x)\le f(a)$

→ Un minimum absolu en $a$ ssi $\forall x\in E\Rightarrow f(x)\ge f(a)$

→ Un extremum absolu en $a$ ssi $f$ présente un maximum ou un minimum absolu en $a$

Définition du gradient

Si $f\in C^1(E)$, $df_a$ est jne forme linéaire sur $\mathbb{R}²$.

$\exists!u_{a} \in \mathbb{R}²$ tq $\forall h\in \mathbb{R}²$, $df_a(h)=(u_a/h)$

Le gradient de $f$ est l’application, $\overrightarrow{\nabla}f\left(a\right)=u_{a}$

→$(\overrightarrow{\nabla}f\left(a\right)\vert h)=df_{a}(h)=\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(a\right)h_1+\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(a\right)h_2$ → En base orthonormée $B$, on a :

$$\overrightarrow{\nabla}f\left(a\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(a\right),\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(a\right)\right)_{\vert B}$$