Chapitre 3: analyse factorielle des correspondance

Qu’est-ce qu’un tableau de contingence (tableau croisé) et comment interpréter ses lignes, colonnes et coefficients ?

C’est un tableau tel que : les lignes représentent les modalités d’une variable

les colonnes représentent les modalités des autres variables

le coefficient (noté n_{i,j}) à la ligne i et la colonne j représente le nombre d’individus ayant la modalité i pour la 1ère variable et la modalité j pour la seconde variable

Comment définit-on la marge n_{i.} d’une ligne i dans un tableau de contingence ?

La marge n_{i.} de la ligne i est la somme des termes de la ligne i : n_{i.} = ∑{j ∈ J} n{i,j}

Comment définit-on la marge n_{.j} d’une colonne j et le total n dans un tableau de contingence ?

La marge n_{.j} de la colonne j est la somme des termes de la colonne j : n_{.j} = ∑{i ∈ I} n{i,j}

De même, on note n_{..} = n = ∑{i ∈ I} ∑{j ∈ J} n_{i,j}

Comment définit-on le profil ligne i dans un tableau de contingence ?

Le profil ligne i est défini par les fréquences conditionnelles de la ligne i : p_{i,j} = n_{i,j} / n_{i.}

Comment définit-on le profil colonne j dans un tableau de contingence ?

Le profil colonne j est défini par les fréquences conditionnelles de la colonne j : p_{i,j} = n_{i,j} / n_{.j}

Comment définit-on la fréquence conjointe f_{i,j} dans un tableau de contingence ?

La fréquence conjointe est définie par f_{i,j} = n_{i,j} / n

Comment définit-on les fréquences marginales dans un tableau de contingence ?

Les fréquences marginales sont définies par f_{i.} = n_{i.} / n et f_{.j} = n_{.j} / n

Quelle est la remarque importante concernant les profils dans un tableau de contingence ?

Pour chaque ligne i, la somme des fréquences du profil ligne vaut 1 : ∑{j ∈ J} (n{i,j} / n_{i.}) = 1, et pour chaque colonne j, la somme des fréquences du profil colonne vaut 1 : ∑{i ∈ I} (n{i,j} / n_{.j}) = 1

Qu’est-ce que le profil marginal (ou profil moyen) dans un tableau de contingence et comment s’exprime-t-il ?

On appelle profil marginal (ou profil moyen) le profil ligne ou colonne calculé sur l’ensemble du tableau. Profil marginal des lignes : f_{i.} = n_{i.} / n

profil marginal des colonnes : f_{.j} = n_{.j} / n

Qu’est-ce que le tableau théorique d’indépendance et quelles sont ses expressions ?

Le tableau théorique d’indépendance est le tableau de terme général ñ{i,j} = (n{i.} × n_{.j}) / n (effectif théorique) et f̃{i,j} = f{i.} × f_{.j} (fréquence théorique)

Si nᵢⱼ vérifie la propriété donnée pour tout i, j, que peut-on dire des profils-lignes ?

alors tous les profils-lignes sont égaux au profil moyen : fᵢⱼ / fᵢ• = f•ⱼ ∀ i, ∀ j

Si nᵢⱼ vérifie la propriété donnée pour tout i, j, que peut-on dire des profils-colonnes ?

De même pour les colonnes : fᵢⱼ / f•ⱼ = fᵢ• ∀ i, ∀ j

Dans quel cas a-t-on χ² = 0 = φ² et que signifie cette propriété pour les variables ?

χ² = 0 = φ² ssi les données observées vérifient le modèle d’indépendance : les variables sont indépendantes, les variables ne sont pas liées, il n’y a pas de liaison entre les variables

φ² mesure l’intensité de la liaison entre les deux variables et dépend uniquement des fréquences (indépendant de n)

Qu’est-ce que le nuage des profils lignes et comment est-il représenté ?

Le nuage des profils lignes, noté Nᵢ, est l’ensemble des profils lignes, représenté par des points de ℝ^|J|. Chaque dimension correspond à une modalité de la seconde variable

Comment est définie la distance du χ² entre deux profils lignes i et k ?

dᵢχ²(i,k) = Σ{j∈J} (1 / f•j) ( (fᵢj / fᵢ•) − (f_kj / f_k•) )² = Σ{j∈J} f•j ( (fᵢj / (fᵢ• f•j)) − (f_kj / (f_k• f•j)) )²

Que mesure χ² ?

χ² mesure la significativité de la liaison entre les deux variables

Quelle propriété est définie par l’indication du χ² concernant les profils-lignes ?

L’indication du χ² définit une distance entre les profils-lignes

mesure la significativité de la liaison entre les deux variables

Pourquoi le nuage des profils lignes NI est-il inclus dans un hyperplan et comment cet hyperplan est-il défini ?

On a NI ⊂ HI où HI est l’hyperplan défini par ∑(j∈J) uj = 1

Qu’est-ce que le centre de gravité du nuage N_I ?

Le centre de gravité du nuage N_I est un profil moyen (ligne)

Comment définit-on le nuage des profils-colonnes ?

De la même façon, on définit le nuage des profils-colonnes N_J dans R^I muni de la distance

Quelle est la définition de d_J^2(j,l) ?

d_J^2(j,l) = Σ_{i∈I} (1 / f_{i·}) ( (f_{ij} / f_{·j}) - (f_{il} / f_{·l}) )^2

Que signifie r_{ij} = 0, r_{ij} > 0 et r_{ij} < 0 ?

r_{ij} = 0 si les données vérifient l’hypothèse d’indépendance

r_{ij} > 0 si les modalités i et j sont plus souvent associées que dans l’hypothèse d’indépendance

r_{ij} < 0 si les modalités i et j sont moins souvent associées que dans l’hypothèse d’indépendance

Que peut-on dire de l’AFC et des nuages de points après ajustement ?

ne dépend pas de n

L’AFC est une méthode descriptive. Avec cet ajustement des sommes, la représentation des nuages de points est modifiée. Les nuages de points sont centrés sur l’origine O : G_I = O_I et G_J = O_J

Comment sont positionnés les nuages de points après ajustement ?

Les nuages sont centrés sur l’origine O : G_I = O_I et G_J = O_J

Comment est défini r_{ij} ?

∀ i ∈ I, ∀ j ∈ J : r_{ij} = (f_{ij} / (f_{i·} f_{·j})) - 1

Quelle est la propriété sur les inerties de N_I et N_J ?

Inertie (N_I) = Σ_{i∈I} f_{i·} Σ_{j∈J} f_{·j} ( (f_{ij} / (f_{i·} f_{·j})) - 1 )^2 = Inertie (N_J)

Que remarque-t-on et quelle est la conclusion sur l’analyse ?

On remarque que Inertie (N_I) = Inertie (N_J) = Φ^2 = 1/n X^2

Analyser la dispersion des nuages N_I et N_J revient à étudier l’écart des données à l’indépendance

À quoi correspond la démarche en AFC par rapport à l’ACP ?

C’est la même démarche qu’en ACP.

Quelle est la forme des matrices diagonalisées ?

Les matrices diagonalisées sont de la forme (si |I| < |J|)

Quelle est l’écriture de la matrice pour N_J ?

Pour N_J = ( λ_1 0

0 λ_|I| )

Quelle est l’écriture de la matrice pour N_I ?

Pour N_I = ( λ_1 0

0 λ_|I| )

Quelle est la relation de transition en AFC ?

F_r(i) = 1/√λ_r Σ_{j∈J} (f_{ij}/f_{i·}) G_r(j) et G_r(j) = 1/√λ_r Σ_{i∈I} (f_{ij}/f_{·j}) F_r(i)

Quelle relation vérifie u^r ?

On a : X^T D_I X D_J u^r = λ_r u^r

Quelle est la norme de u^r ?

||u^r||^2 = (u^r)^T D_J u^r = 1

Que représente F_r(i) ?

On note F_r(i) la coordonnée de la projection de la ligne i sur l’axe r (dirigé par u^r)

Comment s’exprime F_r(i) ?

On a F_r(i) = [ X D_J u^r ]

Comment s’exprime λ_r avec F_r(i) ?

λ_r = Σ_{i∈I} f_{i·} (F_r(i))^2

Que représente G_r(j) ?

On note G_r(j) la coordonnée de la projection de la colonne j sur l’axe r

Quelle relation relie λ_r, F_r(i) et G_r(j) ?

Alors λ_r = Σ_{i∈I} f_{i·} [F_r(i)]^2 = Σ_{j∈J} f_{·j} [G_r(j)]^2

Que traduit cette relation finale ?

Cette relation exprime la dualité entre les deux nuages de points

Quelle est la relation de transition pour F_r(i) ?

F_r(i) = 1/√λ_r Σ_{j∈J} (f_{ij}/f_{i·}) G_r(j)

Quelle est la relation de transition pour G_r(j) ?

G_r(j) = 1/√λ_r Σ_{i∈I} (f_{ij}/f_{·j}) F_r(i)

Quel est le facteur de dilatation sur l’axe r ?

1/√λ_r est le facteur de dilatation sur l’axe r

Qu’est-ce que F_r(i) et comment s’obtient-il ?

F_r(i), au coefficient 1/√λ_r près, s’obtient comme le barycentre des G_r(j) avec des poids f_{ij}/f_{i·}

Qu’est-ce que G_r(j) et comment s’obtient-il ?

De la même façon, G_r(j) s’obtient (au coefficient 1/√λ_r près) comme barycentre des F_r(i)

Quelle est la valeur de λ_r ?

λ_r

Quelle est la définition de la contribution d’une ligne i à l’inertie d’un axe r ?

f_{i·} (F_r(i))^2 / λ_r = inertie des points i sur l’axe r / inertie totale de l’axe r

Quelle est la définition de la contribution d’un ensemble L de lignes à l’inertie d’un axe r ?

f_{L·} = Σ_{i∈L} f_{i·} (F_r(i))^2 / λ_r (les contributions s’additionnent)

Quelle est la définition de la contribution d’une ligne i à un ensemble d’axes R ?

inertie d’une ligne i à un ensemble d’axes R / inertie totale sur R = Σ_{r∈R} λ_r

Quelle est la définition de la qualité de représentation d’une ligne (ou colonne) pour un axe ?

inertie projetée sur l’axe / inertie totale du point = f_{i·} (F_r(i))^2 / f_{i·} d^2(i, O) = cos^2 θ_i

Comment s’exprime la qualité de représentation d’une ligne i sur un ensemble d’axes R ?

cos²(Oᵢ, R) = ∑_{r ∈ R} cos²(Oᵢ, r)