Riassunto di Algebra Lineare e Geometria

Flashcards comprensive basate sui capitoli di Algebra Lineare e Geometria, coprendo logica, strutture algebriche, spazi vettoriali, matrici e sistemi lineari.

C.N. (Condizione Necessaria)

Data una proposizione $P \Rightarrow Q$, $Q$ è detta condizione necessaria per $P$.

C.S. (Condizione Sufficiente)

Data una proposizione $P \Rightarrow Q$, $P$ è detta condizione sufficiente per $Q$.

Tecnica Controinversa

Metodo di dimostrazione in cui si dimostra che $\neg Q \Rightarrow \neg P$ per confermare che $P \Rightarrow Q$.

Relazione di Equivalenza

Una relazione binaria che gode delle proprietà riflessiva ($aRa$), simmetrica ($aRb \Rightarrow bRa$) e transitiva ($aRb, bRc \Rightarrow aRc$).

Congruenza modulo n

Relazione definita come $a \equiv b \, (n)$ se e solo se esiste un $k \in \mathbb{Z}$ tale che $a - b = kn$.

Partizione di un insieme A

Una collezione di sottoinsiemi $A_i$ di $A$ che sono a due a due disgiunti ($A_i \cap A_j = \emptyset$) e la cui unione è pari ad $A$.

Gruppo

Una struttura algebrica $(A, *)$ che soddisfa la proprietà associativa, possiede un elemento neutro ed ogni elemento ha un inverso.

Campo

Una struttura algebrica $(A, *, \cdot)$ che è un gruppo commutativo sia rispetto alla somma che rispetto al prodotto (escluso lo zero) e in cui vale la proprietà distributiva.

Omomorfismo

Un'applicazione tra due insiemi che mantiene le operazioni definite su di essi, tale che $L(a_1 * a_2) = L(a_1) \circ L(a_2)$.

Immersione

Un omomorfismo iniettivo.

Isomorfismo

Un omomorfismo biettivo.

Unità Immaginaria

Definita come $i = (0, 1)$, tale che $i^2 = -1$.

Modulo di un numero complesso

Il valore reale non negativo dato dalla formula $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ per un numero $z = a + ib$.

Spazio Vettoriale

Insieme $V$ su un campo $K$ dotato di un'operazione interna (somma) e di un'operazione esterna (prodotto per scalare) che soddisfano specifiche proprietà come l'associatività e la distributività.

Relazione di Grassmann

Formula che lega le dimensioni di due sottospazi: $\dim(U+W) + \dim(U \cap W) = \dim(U) + \dim(W)$.

Combinazione Lineare

Un vettore ottenuto sommando i vettori di un insieme moltiplicati per degli scalari: $v = \alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$.

Vettori Linearmente Indipendenti (L.I.)

Un insieme di vettori la cui unica combinazione lineare nulla è quella con tutti i coefficienti nulli ($\alpha_1 = \dots = \alpha_n = 0$).

Base di uno Spazio Vettoriale

Un insieme di vettori linearmente indipendenti che costituiscono un sistema di generatori per lo spazio.

Dimensione (dim V)

Il numero di vettori che compongono una base di uno spazio vettoriale $V$.

Ker L (Nucleo)

L'insieme dei vettori $v$ appartenenti al dominio tali che $L(v) = \mathbf{0}_w$.

Im L (Immagine)

L'insieme dei vettori $w$ appartenenti al codominio per i quali esiste almeno un vettore $v$ nel dominio tale che $L(v) = w$.

Teorema della Dimensione

Stabilisce che $\dim(V) = \dim(\text{Ker } L) + \dim(\text{Im } L)$.

Matrice Invertibile

Una matrice quadrata $A$ per la quale esiste una matrice $B$ tale che $A \cdot B = B \cdot A = I_n$. Il suo determinante deve essere diverso da zero.

Sviluppo di Laplace

Metodo per calcolare il determinante di una matrice quadrata sommando i prodotti degli elementi di una riga o colonna per i rispettivi complementi algebrici.

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema lineare ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale al rango della matrice completa.

Rango di una matrice (rg A)

L'ordine massimo dei minori non nulli di una matrice, che corrisponde anche al numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

Autovalore

Uno scalare $\lambda$ tale che esiste un vettore non nullo $v$ (autovettore) per cui $L(v) = \lambda v$.

Polinomio Caratteristico

Polinomio definito come $P_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$, le cui radici sono gli autovalori della matrice.

Molteplicità geometrica ($g_{\lambda}$)

La dimensione dell'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$, ovvero $\dim(V_{\lambda})$.