Manuale Pratico TOLC-E: Matematica

Questa raccolta di flashcard in stile vocabolario copre i concetti fondamentali di matematica per il TOLC-E, inclusi insiemi numerici, algebra, geometria analitica e funzioni.

Numeri Razionali ($Q$)

Insieme numerico che include tutti i numeri esprimibili come frazione, compresi i decimali finiti e i decimali periodici.

Numeri Reali ($R$)

Insieme dato dall'unione dei numeri Razionali ($Q$) e dei numeri Irrazionali, ovvero quelli con infinite cifre decimali non periodiche (come $\pi$ o $\sqrt{2}$).

Ordine delle operazioni

La sequenza rigorosa da seguire in un'espressione: 1) Parentesi, 2) Potenze e Radici, 3) Moltiplicazioni e Divisioni, 4) Somme e Sottrazioni.

Divisione di frazioni

Operazione che consiste nel moltiplicare la prima frazione per l'inversa della seconda: $\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$.

Variazione percentuale

Formula utilizzata per calcolare il cambiamento relativo tra un valore finale e uno iniziale: $\frac{V_{finale} - V_{iniziale}}{V_{iniziale}} \times 100$.

Valore assoluto ($|x|$)

Operazione che restituisce la distanza di un numero dallo zero; analiticamente $\left| x \right| = x$ se l'argomento è positivo o nullo ($x \ge 0$), mentre $\left| x \right| = -x$ se l'argomento è negativo ($x < 0$).

Logaritmo ($\log_a(b)$)

Operazione inversa dell'esponenziale che determina a quale esponente si deve elevare la base $a$ per ottenere l'argomento $b$ ($\log_a(b) = c \iff a^c = b$).

Proprietà del logaritmo di una potenza

Regola secondo cui il logaritmo di una base elevata a un esponente è uguale all'esponente moltiplicato per il logaritmo della base: $\log_a(x^k) = k \times \log_a(x)$.

Differenza di quadrati

Prodotto notevole espresso dalla formula $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Teorema del Resto

Teorema che permette di trovare il resto della divisione tra un polinomio $P(x)$ e un binomio $(x - a)$ calcolando semplicemente il valore di $P(a)$, senza eseguire la divisione.

Somma delle radici di un'equazione di secondo grado

Data un'equazione $ax^2 + bx + c = 0$, la somma delle soluzioni $x_1 + x_2$ è uguale a $-\frac{b}{a}$.

Regola del DICE

Regola per risolvere le disequazioni di secondo grado: Segno Discorde ($\le 0$) implica Valori Interni ($x_1 \le x \le x_2$); Segno Concorde ($\ge 0$) implica Valori Esterni ($x \le x_1 \lor x \ge x_2$).

Condizione di Esistenza (C.E.) nelle frazioni ranzionali

Requisito obbligatorio secondo cui il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da zero ($D(x) \neq 0$).

Equazione Irrazionale ($\sqrt{A(x)} = B(x)$)

Equazione che si risolve impostando un sistema a tre condizioni: $A(x) \ge 0$, $B(x) \ge 0$ e $A(x) = [B(x)]^2$.

Disequazione Esponenziale con base $0 < a < 1$

Tipo di disequazione in cui, eliminando le basi, è obbligatorio invertire il verso della disuguaglianza tra gli esponenti.

Coefficiente angolare ($m$)

Valore che indica la pendenza di una retta; per una retta passante per due punti è calcolato come $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Perpendicolarità tra rette

Condizione per cui due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è $-1$, ovvero $m_1 = -\frac{1}{m_2}$.

Regola dei Fattori di Scala

Principio secondo cui se le dimensioni lineari di una figura sono moltiplicate per un fattore $K$, l'Area viene moltiplicata per $K^2$ e il Volume per $K^3$.

Dominio di un logaritmo

Restrizione algebrica che impone che l'argomento di un logaritmo debba essere sempre strettamente maggiore di zero ($\text{Argomento} > 0$).

Funzione Coseno ($y = \cos(x)$)

Curva goniometrica che parte dal punto di massimo in $(0, 1)$, oscilla tra $-1$ e $1$ e ha un periodo di $2\pi$.