3 VEKTORSKI PROSTORI

definiraj vektorski prostor

zapiši lastnosti operacij v vektorskem prostoru

1. v mn. V obstaja natanko en nevtralen el. za set.

2. za vsak v iz V obstaja natanko en nasprotni element

3. 0 · v = v za vsak v iz V

4. µ · 0 = 0 za vsak µ iz V

5. ( - 1)v = - v za vsak v iz V

definiraj zaprtost za seštevanje in množenje s skalarjem

zapiši trditev o vektorskem podprostoru (kdaj je podmnožica vektorski podprostor?)

Naj bo V vektorski prostor nad F. Naj bo U neprazna podmnožica množice V. Potem je U vektorski podprostor v V natanko tedaj, ko je Množica U zaprta za seštevanje in množenje s skalarnem.

definiraj linearno kombinacijo vektorjev

zapiši trditev o zaprtosti za linearne kombinacije

definiraj presek, vsoto in direktno vsoto vektorskih podprostorov

zapiši trditev: presek in vsota sta podprostora

enoličnost zapisa v direktni vsoti

definiraj vsoto več podprostorov

definiraj linearno ogrinjačo množice

Naj bo v vektorski prostor nad F in A neprazna Množica vektorjev iz V. Množico vseh linearnih kombinacij vektorjev iz A označimo z

Lin A

in ji pravimo linearna ogrinjača množice A

Lin A je vektorski podprostor

()zapiši trditev o linearni ogrinjači in popravljenih vektorjih

definiraj linearno neodvisnost vektorjev

kdaj so vektorji linearno odvisni

definiraj ogrodje vektorskega prostora

Naj bo V vektorski prostor nad F in A podmnožica V. Pravimo, da je Množica A ogrodje vektorskega prostora V, če je

Lin A = V

To pomeni, da je vektor v V linearna kombinacija vektorjev iz A.

Pravimo tudi , da vektorji iz množice A razpenjajo vektorski prostor V

definiraj bazo vektorskega prostora in zapiši, kdaj je vektorski prostor končno razsežen

Naj bo V vektorski prostor nad F. Množica A, ki je Podmnožica V je baza prostora V, če veljata zahtevi:

1. množica A je ogrodje prostora V ( Lin A = V )

2. poljubna končna podmnožica vektorjev iz A je linearno neodvisna

Če ima V kakšno končno bazo, pravimo, da je V končno razsežen vektorski prostor

zapiši Steinitzovo lemo o izmenjavi

naj bo V vekt.p. nad F. Naj bo

X = {u_1,…,u_m} podmnožica V linearno neodvisna in

Y = {w_1,…,w_n} podmnožica V ogrodje

potem velja

1. | x | <_ | y | (torej m <_ n)

2. obstajajo w’_1,…, w’_n-m iz Y, da je Z = { u_1,…,u_m, w’_1,…, w’_n-m} ogrodje

zapiši posledico o dopolnjevanju linearno neodvisne množice do baze

Naj bo V končno razsežen vektorski prostor nad F. Potem lahko vsako Množico linearno neodvisnih vektorjev v V dopolnimo do baze prostora V

zapiši posledico, ki trdi, da imajo vse baze istega prostora isto moč

Naj bo V končno razsežen vektorski prostor nad F. Potem imajo vse baze prostora V isto moč

definiraj dimenzijo vektorskega prostora

Dimenzija končno razsežnega vektorskega prostora je moč njegove baze. Ta je neodvisna od izbire baze.

oznaka: dim V

zapiši posledico, ki govori o številu linearno neodvisnih vektorjev v vektorskem prostoru in dimenziji

zapiši trditev o podprostoru in njegovi dimenziji

Naj bo V končno razsežen vektorski prostor in U <_ V vektorski podprostor. Potem je U končno razsežen in dim U <_ dim V. Enakost velja, če in samo če U = V

enačitev vektorskega prostora s prostorom Fˆn. (vsota in mn.s skal. - baza)

zapiši trditev o prehodu med bazami (vektorja)

prehodna matrika

zapiši lastnosti prehodnih matrik

zapiši izrek o dimenziji vsote podpristorov

Naj bo V končno razsežen vektorski prostor in U1,U2 <_V, potem velja:

dim (U1 + U2) = dim U1 + dim U2 - dim ( presek U1 in U2)

zapiši posledico o rangu transponirane matrike

?zapiši trditev o oceni za rang produkta matrik