док-ва линал2

Сосать Омерика! Сосать Амерека! Сосать Анерика! Сосааааать

12. Координатная запись линейного отображения с помощью матрицы.

13. Формула замены матрицы линейного отображения при замене базиса.

14. Оценка размерности образа композиции.

15. Билинейная форма задаётся матрицей.

16. Соответствие между билинейными формами и матрицами.

17. Связь кососимметричности билинейной формы с условием β(v, v) = 0.

18. Форма, одновременно симметричная и кососимметричная, является нулевой.

19. Связь симметричности билинейной формы и симметричности ее матрицы.

20. Связь кососимметричности билинейной формы и кососимметричности ее матрицы.

21. Диагонализация симметричной билинейной формы.

22. Существование канонического вида матрицы симметричной билинейной формы.

23. Независимость количества единиц, минус единиц и нулей в каноническом виде от выбора базиса.

24. Поляризационная формула.

25. Квадратичная форма однозначно задается симметрической матрицей.

26. Связь между симметричными билинейными формами и квадратичными формами.

27. Критерий положительной определенности в терминах угловых миноров.

28. Критерий отрицательной определенности в терминах угловых миноров.

29. Критерий Сильвестра.

30. Существование и единственность скалярного произведения, в котором данный базис ортонормирован.

31. Формула разложения вектора по ортогональному базису.

32. Равносильность условий ортогональности матрицы.

33. Неравенство Коши–Буняковского.

34. Условие равенства в неравенстве Коши–Буняковского.

35. Теорема Пифагора.

36. Свойства ортогонального дополнения.

37. Связь размерности подпространства и его ортогонального дополнения.

38. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

39. Свойства расстояния на евклидовом пространстве.

40. Связь расстояния от вектора до подпространства с ортогональной составляющей.

41. Связь угла между вектором и подпространством с ортогональной проекцией.

42. Метод наименьших квадратов.

43. Независимость определителя и следа оператора от выбора базиса.

44. Связь собственного подпространства с ядром оператора φ − λ id.

45. Линейная независимость собственных подпространств, отвечающих различным собственным значениям.

46. Оценка на число различных собственных значений оператора.

47. Если оператор имеет n различных собственных значений, то соответствующие собственные векторы образуют базис.

48. Альтернатива Фредгольма.

49. Связь обратимого оператора и собственных значений обратного оператора.

50. Связь аннулирующего многочлена и собственных значений оператора.

51. Делимость аннулирующего многочлена на минимальный многочлен.

52. Независимость характеристического многочлена от выбора базиса.

53. Связь собственных значений оператора и корней характеристического многочлена.

54. Достаточное условие диагонализуемости в терминах характеристического многочлена без кратных корней.

55. Диагонализуемость оператора при разложении пространства в прямую сумму собственных подпространств.

56. Связь диагонализуемости оператора и подобия матрицы диагональной матрице.

57. Утверждение о виде матрицы оператора в базисе, согласованном с инвариантным подпространством.

58. Утверждение о виде матрицы оператора при разложении пространства в прямую сумму инвариантных подпространств.

59. Связь геометрической и алгебраической кратностей собственного значения.

60. Критерий диагонализуемости в терминах алгебраических и геометрических кратностей.

61. Теорема Гамильтона–Кэли в случае диагонализуемого оператора.

62. Существование и единственность сопряжённого оператора.

63. Связь инвариантного подпространства для оператора и ортогонального дополнения для сопряжённого оператора.

64. Ортогональность собственных подпространств самосопряжённого оператора, отвечающих различным собственным значениям.

65. Обратимость оператора φ**2 + bφ + c id при b**2 − 4c < 0

66. Непустота спектра самосопряжённого оператора.

67. Спектральная теорема для самосопряжённых операторов.

68. Представление самосопряжённого оператора в виде линейной комбинации ортогональных проекторов.

69. Положительность оператора, задаваемого матрицей AtA.

70. Эквивалентность определений ортогонального оператора.

71. Существование двумерного инвариантного подпространства у ортогонального оператора с пустым спектром.

72. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству ортогонального оператора тоже инвариантно.

73. Классификация ортогональных операторов.

74. Утверждение о ядре матрицы AtA.

75. Существование сингулярного разложения.

76. Ортогональная инвариантность операторной нормы.

77. Ортогональная инвариантность фробениусовой нормы.

78. Субмультипликативность операторной нормы.

79. Субмультипликативность фробениусовой нормы.

80. Связь операторной нормы и наибольшего сингулярного числа.

81. Связь фробениусовой нормы и сингулярных чисел.

82. Теорема Эккарта–Янга для операторной нормы.