Développements limités

Def ο(φ) et Ο(φ)

f est dominé par φ ssi $\frac{f}{\varphi}$ est borné, on note f=Ο(φ)

f est négligeable devant φ ssi lim_a $\frac{f}{\varphi}$ = 0, on note f=ο(φ)

def fonction équivalentef$\frac{f}{g}$

f ∼ g ssi lim_a = 1

Formule de Taylor-Young

Si f est de classe Cⁿ sur I et 0 ∈ İ, alors

f(x) = Σ$\frac{x^{k}f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}$ + ৹($x^{n}$ )

DL(0) de $\frac{1}{1-x}$

= 1 + x + x² + … + xⁿ + ৹(xⁿ)

DL(0) de (1 + x)^α

(1 + x)^α = 1 + αx + $\frac{\alpha\left(\alpha-1\right)x^2}{2}$ + … + ৹(xⁿ)

DL(0) de ln(1 + x)

ln(1 + x) = x - x²/2 + x³/3 + … + ৹(xⁿ)

DL(0) de e^x

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … + ৹(xⁿ)

DL(0) de sin(x)

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! + … + ৹(x²ⁿ⁺¹)

DL(0) de cos(x)

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! + … + ৹(x²ⁿ)

DL(0) de sh(x)

sh(x) = x + x³/3! +x⁵/5! + … + ৹(x²ⁿ⁺¹)

DL(0) de ch(x)

ch(x) = 1 + x²/2! + x⁴/4! + … + ৹(x²ⁿ)

Développement de 1/g

Si DL_n(0) de g(x) = Σa_kx^k + ৹(xⁿ), alors DL_n(0) de 1/g(x) existe et vaut 1/a_o*1/(1 + Σa_kx^k/a_o + ৹(xⁿ))

Intégration d’un DL

f(x) = Σa_kx^k + ৹(xⁿ) => F(X) = F(0) + Σa_kx^k+1/K+1 + ৹(xⁿ⁺¹)

DL en +∞

Ssi φ(x) = f(1/x) admet un DL(0):

f(x) = Σa_k/x^k + ৹((1/x)ⁿ)