Topologia e Limiti in Multiple Variabili

Flashcard di terminologia riguardanti la topologia di R^n, limiti di funzioni a più variabili e continuità, basate sugli appunti della lezione.

Punto di accumulazione

Un punto $x_0 \in \mathbb{R}^n$ è un punto di accumulazione per $A$ se ogni palla $B(x_0, \delta)$ contiene punti di $A$ diversi da $x_0$.

Punto isolato

Un punto $x \in A$ è un punto isolato di $A$ se esiste una palla $B(x, \delta)$ tale che $B(x, \delta) \cap A = \{x\}$.

Insieme limitato

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ è limitato se esiste una palla $B(x_0, \delta)$ per qualche $x_0 \in \mathbb{R}^n$ e qualche $\delta > 0$ tale che $A \subseteq B(x_0, \delta)$. Altrimenti, $A$ è illimitato.

Insieme connesso per archi

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ è connesso per archi se per ogni coppia di punti $x, y \in A$ esiste una curva interamente contenuta in $A$ con estremi $x$ e $y$.

Insieme convesso

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ è convesso se per ogni coppia di punti $x, y \in A$ il segmento che congiunge $x$ e $y$ è interamente contenuto in $A$.

Insieme compatto

Un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$ è compatto se è sia chiuso che limitato.

Successione di $\mathbb{R}^n$

Una famiglia di punti di $\mathbb{R}^n$ indicizzati da un numero naturale $k \in \mathbb{N}$, dove ogni elemento $x_k$ è un punto di $\mathbb{R}^n$.

Limite di una successione

Una successione $x_k$ tende a $x_0$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $N \in \mathbb{N}$ tale che $||x_k - x_0|| < \epsilon$ per ogni $k > N$.

Definizione classica di limite per funzioni

Si dice che $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L$ se per ogni $\epsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che per ogni $x$ che soddisfa $0 < ||x - x_0|| < \delta$ abbiamo $||f(x) - L|| < \epsilon$.

Teorema di unicità del limite

Sia $x_0$ un punto di accumulazione per $A$. Se $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L_1$ e $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = L_2$, allora $L_1 = L_2$.

Restrizione di una funzione lungo una curva

Data una funzione $f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ e una curva $\gamma: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$, la composizione $F(t) = f(\gamma(t))$ è utile per dimostrare la non esistenza del limite se esso varia al cambiare della curva.

Disuguaglianza di Young

Relazione matematica data da $ab \le \frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b^2$ per ogni $a, b \in \mathbb{R}$, utilizzata per dimostrare l'esistenza di limiti tramite il teorema del confronto.

Coordinate polari in $\mathbb{R}^2$

Metodo per esprimere un punto $(x, y)$ centrato in $(x_0, y_0)$ tramite $x = x_0 + \rho\cos(\theta)$ e $y = y_0 + \rho\sin(\theta)$, dove $\rho \ge 0$ è la distanza radiale.

Criterio per l'esistenza del limite (Polari)

Se esiste una funzione $g(\rho)$ tale che $|f(\rho, \theta) - L| \le g(\rho)$ per ogni $\theta$ e $\lim_{\rho \rightarrow 0} g(\rho) = 0$, allora il limite della funzione è $L$.

Continuità in un punto isolato

Se $x_0$ è un punto isolato di $A$, la funzione $f$ è sempre considerata continua in $x_0$.

Classe $C^0(A)$ (o $f \in C^0(A)$)

Notazione indicante che la funzione $f$ è continua in ogni punto $x \in A$.

Insieme aperto

Un insieme $O \subseteq \mathbb{R}^n$ è detto aperto se per ogni punto $x \in O$ esiste un \delta > 0 tale che la palla $B(x, \delta)$ è contenuta in $O$.

Insieme chiuso

Un insieme $C \subseteq \mathbb{R}^n$ è detto chiuso se contiene tutti i suoi punti di accumulazione, cioè se ogni punto di accumulazione di $C$ appartiene a $C$.

Frontiera di un insieme

La frontiera di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$, denotata da $\partial A$, è l'insieme dei punti tali che ogni palla centrata in questi punti interseca sia $A$ che il suo complemento.

Insieme interno

L'interno di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$, denotato da $A^{\circ}$, è l'insieme dei punti di $A$ che sono punti interni, cioè per ogni punto $x \in A^{\circ}$ esiste una palla $B(x, \delta)$ contenuta in $A$.

Chiusura di un insieme

La chiusura di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$, denotata da $\overline{A}$, è l'insieme formato da $A$ insieme ai suoi punti di accumulazione.

Bordo di un insieme

Il bordo di un insieme $A \subseteq \mathbb{R}^n$, denotato da $\partial A$, è definito come la differenza $\partial A = \overline{A} \cap \overline{\mathbb{R}^n \setminus A}$, rappresentando i punti che si trovano sia nell'interno che nel complemento di $A$.