9 BINARNE OPERACIJE, ALGEBRSKE STRUKTURE

binarna operacija

binarna operacija na neprazno množico S je preslikava

*: S x S → S

(a, b) → a*b

nevtralni element ali enota

e € S, a*e = e*a = a, če nevtralni element obstaja je enolično določen

lastnosti binearne operacije

asociativna: x,y,z € S: (x*y)*z = x*(y*z)

komutativna: x*y = y*x

množica T zaprta za operacijo : t, t’ € T in (t*t’)€T

algebrske strukture

množice opremljene z eno ali več binarnimi operacijami, za katere veljajo določene lastnosti (ponavadi so toobstoj enote, zaprtost za seštevanje in množenje, asociativnost, komutativnost NI PA NUJNO)

( Algebra → študij algebrskih struktur)

polgrupa

neprazna množica S opremljena z binarno operacijo , ker je asociativna, torej lahko (x*y)*z izpuščamo oklepaje, zato lahko definiramo tudi potenco: xⁿ = x*x*…*x n-krat

monoid

polgrupa z nevtralnim elementom

inverz

x, y, e € S

če je e nevtralni element in y inverz za x: x*y = e = y* x in pravimo, da ima x obrnljiv element, ki je natanko en

zapiši trditev o obrnljivem elementu

obrnljiv element v monoid ima natanko en inverz

grupa

monoid, v katerem je vsak element obrnljiv = polgrupa z nevtralnim elementom in inverzom

če je grupa tudi komutativna, jo imenujemo ABELOVA grupa

zveza med monoidom in grupo (trditev)

še je (S, *) monoid → potem je (*, S) grupa

kolobar

množica K z dvema binarnima operacijama:

_{(* pomeni množenje in ne operacija zvezdica)}

+: KxK → K, (a,b) → a+b;

za katero veljata asociativnost in komutativnost, obstaja nevtralni element 0 in obstaja element -x, da velja x + (-x) = 0

• : KxK → K, (a, b) → a*b

za katero velja asociativnost in komutativnost, obstaja nevtralni element 1

Če sta izpolnjena oba DISTRIBUTIVNOSTNA zakona: (x+y)z= xz + yz in z(x+y)= zx + zy

Če velja vse našteto, je množica kolobar.

komutativni kolobar

kolobar, kjer je (K, + , *) tudi komutativno.

delitelj niča

x € K, x ni 0, da obstaja y ni 0, da je x*y = 0 ali y*x = 0

delitelj niča ni obrnljiv

obseg

Je kolobar (K, + ,* ), v katerem je ( K\{0},*) grupa. (* je množenje)

_{POMENI: je kolobar z enoto, kjer lahko delimo z vsemi elementi razen z 0.}

Če je obseg tudi komutativen, ga imenujemo POLJE = _{vrstni red množenja ni pomemben}

Algebra nad poljem F

To je vektorski prostor nad poljem IF, ki je hkrati tudi kolobar, kar pomeni, da imamo poleg seštevanja in množenja s skalarji definirano še množenje elementov med seboj, ki je združljivo z množenjem s skalarji.

Bezutova identiteta

Za vsaki tuji števili m,n € ZI, obstajata števili a,b € ZI, da velja:

an + bm = 1