Probabilités – Terminale S

Ces flashcards couvrent les concepts fondamentaux de probabilités du programme de Terminale S : définitions de base, variables aléatoires, conditionnement, indépendance, dénombrement et lois usuelles (Bernoulli, Binomiale).

Expérience aléatoire

Expérience dont on ne peut pas prévoir avec certitude le résultat car celui-ci dépend du hasard.

Univers

Ensemble de tous les résultats possibles associés à une expérience aléatoire, souvent noté $\Omega$.

Éventualités

Nom donné aux éléments individuels qui composent l’univers $\Omega$.

Événements

Sous-ensembles de l’univers $\Omega$. Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires.

Événement certain

L'événement qui correspond à l'ensemble $\Omega$ tout entier.

Événement impossible

L'évenement correspondant à l'ensemble vide $\emptyset$, dont la probabilité est $0$.

Événement contraire ($\overline{A}$)

Ensemble des éventualités de l'univers $\Omega$ qui ne sont pas contenues dans l'événement $A$. Sa probabilité est $p(\overline{A}) = 1 - p(A)$.

Événements incompatibles

Deux événements $A$ et $B$ qui ne peuvent pas se réaliser simultanément, tel que $A \cap B = \emptyset$.

Loi de probabilité (sur un ensemble fini)

Choix de nombres $p_1, p_2, \dots, p_n$ tels que pour tout $i$, $0 < p_i < 1$ et $\sum p_i = 1$.

Équiprobabilité

Situation où tous les événements élémentaires d'une expérience ont la même probabilité.

Calcul de probabilité en équiprobabilité

La probabilité d'un événement $E$ est donnée par $p(E) = \frac{\text{card } E}{\text{card } \Omega}$, soit le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

Variable aléatoire ($X$)

Application définie sur un ensemble $E$ muni d'une probabilité $P$, qui associe un nombre réel à chaque issue.

Espérance mathématique ($E(X)$)

Moyenne des valeurs de la variable aléatoire pondérées par leurs probabilités : $E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i$.

Variance ($V(X)$)

Nombre défini par $V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - E(X))^2$ ou par la formule de Koenig-Huygens $V(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i^2 - E(X)^2$.

Écart-type ($\sigma$)

La racine carrée de la variance : $\sigma = \sqrt{V}$.

Arbre pondéré

Représentation graphique d'une expérience aléatoire où la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à $1$.

Probabilité conditionnelle

La probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé, notée $p_B(A)$ ou $p(A/B)$, définie par $\frac{p(A \cap B)}{p(B)}$.

Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $p(A \cap B) = p(A) \times p(B)$, ou si $p(A/B) = p(A)$.

Partition de l’univers

Ensemble d'événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ non vides, disjoints deux à deux ($A_i \cap A_j = \emptyset$), et dont l'union constitue l'univers $\Omega$.

Formule des probabilités totales

Si $A_1, \dots, A_n$ est une partition de $\Omega$, alors pour tout événement $B$ : $p(B) = \sum_{i=1}^{n} p(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} p_{A_i}(B) \times p(A_i)$.

Permutation

Liste ordonnée de tous les $p$ éléments d'un ensemble de cardinal $p$. Le nombre de permutations est donné par $p!$.

Factorielle ($p!$)

Le produit des entiers de $1$ à $p$ : $p \times (p - 1) \times (p - 2) \times \dots \times 2 \times 1$. Par convention, $0! = 1$.

Combinaison

Toute partie de $p$ éléments choisis dans un ensemble à $n$ éléments, sans tenir compte de l'ordre. On note ce nombre $\binom{n}{p}$.

Formule des combinaisons

Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ est $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Triangle de Pascal

Tableau à double entrée permettant de calculer les coefficients binomiaux $\binom{n}{p}$ grâce à la propriété $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$.

Binôme de Newton

Propriété stipulant que pour tous réels $a$ et $b$ et tout entier $n$ : $(a + b)^n = \sum_{p=0}^{n} \binom{n}{p} a^{n-p} b^p$.

$p$-listes

Dénombrement de listes de $p$ éléments parmi $n$ avec ordre et avec répétitions possibles. Le nombre est $n^p$.

Arrangements ($A_n^p$)

Dénombrement de listes de $p$ éléments parmi $n$ avec ordre mais sans répétition. Calculé par $\frac{n!}{(n-p)!}$.

Loi de Bernoulli

Loi d'une épreuve à deux issues : succès ($1$) avec probabilité $p$ et échec ($0$) avec probabilité $q = 1 - p$. L'espérance est $p$.

Schéma de Bernoulli

Expérience aléatoire consistant à répéter $n$ fois de manière identique et indépendante une même épreuve de Bernoulli.

Loi Binomiale (paramètres $n, p$)

Loi de la variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Elle est définie par $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n-k}$.

Espérance et Écart-type d'une loi Binomiale

Pour une loi $\mathcal{B}(n, p)$, l'espérance est $E(X) = n p$ et l'écart-type est $\sigma = \sqrt{n p q}$.