Álgebra Lineal: Matrices, Rango e Inversas

Resumen de trminos clave sobre binomio de Newton, operaciones elementales, rango, nulidad y matrices inversas basado en los apuntes.

Binomio de Newton (Matrices)

Se define por la fórmula $C^k = (aI + B)^k = \binom{k}{0}(aI)^k B^0 + \binom{k}{1}(aI)^{k-1} B^1 + \binom{k}{2}(aI)^{k-2} B^2 + \text{...} + \binom{k}{k}(aI)^0 B^k$.

Matriz Nilpotente de orden 3

Es una matriz $B$ que cumple con la propiedad $B^3 = 0$.

Operación Elemental 1 (Fila)

Multiplicar la fila $i$-ésima de $A$ por una constante $c \neq 0$; es decir, reemplazar $f_i$ por $c \times f_i$.

Operación Elemental 2 (Fila)

Sumar $c$ veces la fila $s$-ésima ($f_s$) a la fila $r$-ésima ($f_r$); es decir, reemplazar $f_r$ por $c \times f_s + f_r$.

Operación Elemental 3 (Fila)

Intercambiar dos filas distintas ($f_r$ y $f_s$) de la matriz $A$, donde $s \neq r$.

Rango

Número de filas no nulas que tiene la matriz tras aplicar operaciones elementales; representado como $\rho(A)$ o $rng(A)$.

Nulidad

Número de filas nulas que tiene la matriz tras ser reducida; representado como $null(A)$ o $\nu(A)$.

Relación Rango-Nulidad

Para una matriz $A \times A$ de dimensiones $m \times n$, se cumple que $Rango(A) + Nulidad(A) = m$ (donde $m$ es el número de filas).

Propiedades del Rango

Incluyen: $Rango(\text{α}A) = Rango(A)$, $Rango(A^T) = Rango(A)$, $Rango(I_{n \times n}) = n$, y $Rango(\text{Ø}) = 0$.

Matriz Escalonada

Es una matriz reducida por filas en la que se usan pivotes de forma ordenada (calculando $e_1$, luego $e_2$, etc., hasta el último vector canónico).

Matriz Inversa

Sea $A$ una matriz cuadrada, existe una única matriz $A^{-1}$ tal que $A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I_n$.

Inversa de una matriz $2 \times 2$

Para $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$, siempre que $ad - bc \neq 0$.

Método de Gauss para Inversa

Consiste en utilizar operaciones elementales de fila para transformar la matriz aumentada $(A | I)$ en $(I | A^{-1})$.

Matriz Ortogonal

Una matriz $A$ es ortogonal si cumple que $A^T = A^{-1}$, lo que implica $A \times A^T = A^T \times A = I$.

Matriz Unitaria

Una matriz $C$ es unitaria si cumple que $C^* = C^{-1}$, donde $C^*$ es la transpuesta conjugada.

Matriz No Singular

Es una matriz cuadrada con rango máximo ($Rango(A) = n$) y determinante distinto de cero ($|A| \neq 0$).

Matriz Singular

Es una matriz con rango no máximo ($1 \neq Rango(A) < n$) y determinante igual a cero ($|A| = 0$), por lo tanto, no posee inversa.

Matriz Equivalente por Fila

Sean $A$ y $B$ matrices, $B$ es equivalente por fila a $A$ si existe una matriz no singular $P$ tal que $B = P \times A$.