Mathe: Arithmetik (Zahlen, Stellenwertsystem)

Kardinalzahlaspekt

„Wie viele?“

Anzahlbestimmung

Inhaltlich interpretierte Zahlen

Ordnungszahlaspekt (Ordinalzahlaspekt)

„Der wievielte?“

„An welche Stelle?“

Inhaltlich interpretierte Zahlen

Zählzahlaspekt (Ordinalzahlaspekt)

Reihenfolge

Inhaltlich interpretierte Zahlen

Maßzahlaspekt

„Wie lang/schwer/teuer?“

Größenangaben

Inhaltlich interpretierte Zahlen

Operatoraspekt

„Wie oft?“

Wiederholungen

Inhaltlich interpretierte Zahlen

Rechenzahlaspekt

Rechenbausteine

36 + 17 = 17 + 36 (algebraisch), schriftliche Addition (algorithmisch)

Ohne inhaltliche Interpretation verwendete Zahlen

Kodierungsaspekt

Bezeichnung

PLZ 63607, Telefonnummer

Ohne inhaltliche Interpretation verwendete Zahlen

Relationaler Zahlaspekt

„In Beziehung zu…“

Lagebeziehung → 5 liegt zwischen 2 und 7

Ohne inhaltliche Interpretation verwendete Zahlen

Geometrischer Aspekt

Verwendung in geometrischen Zusammenhängen

Dreieck, Viereck, etc.

Narrativer Aspekt

Symbolische Bedeutung von Zahlen in Märchen & Kulturen

13 als Unglückszahl, 7 in Märchen

Simultane Anzahlerfassung

Erfassung kleiner, ungeordneter Mengen auf einen Blick ohne Zählprozess

Keine Verwendung der Zahlwortreihe

Quasi-simultane Anzahlerfassung

Erfassung größerer Mengen (> 6) ohne Zählen durch Nutzung von Strukturen

Wahrnehmung + Bestimmung der Anzahl

String level - Zahlwortreihe als Ganzheit (Entwicklungsniveau der Zahlwortreihe)

Aufsagen wie Gedicht, keine Trennung der Wörter, nicht zur Anzahlbestimmung nutzbar

Unbreakable chain level - Unflexible Zahlwortreihe (Entwicklungsniveau der Zahlwortreihe)

Einzelwörter trennbar, aber Beginn immer bei „eins“, Anzahlbestimmung und Größenvergleich möglich

Breakable chain level - Teilweise flexible Zahlwortreihe (Entwicklungsniveau der Zahlwortreihe)

Beginn bei beliebiger Zahl möglich; Vorgänger/Nachfolger nennbar; Rückwärtszählen; einfache Addition/Subtraktion zählend lösbar

Numerable chain level - Flexible Zahlwortreihe (Entwicklungsniveau der Zahlwortreihe)

Jedes Zahlwort als Einheit; Weiterzählen um bestimmte Schritte; Anzahlbestimmung zwischen zwei Zahlen; Addition/Subtraktion sicherer

Bidirectional chain level - Vollständig reversible Zahlwortreihe (Entwicklungsniveau der Zahlwortreihe)

Vorwärts und rückwärts von jeder Zahl; flexibler Richtungswechsel; wichtige Einsichten für Operationen

Totalität

JEDEM Element aus M wird ein Zahlwort zugeordnet

Injektiv

Wenn für zwei unterschiedliche Elemente aus A zwei unterschiedliche Elemente aus B zugeordnet werden. Nicht alle Elemente bei B müssen zugeordnet sein.

Surjektiv

Wenn jedes Element von B mindestens ein Element von A zugeordnet bekommt, jedes Element in B wird mindestens einmal getroffen.

Bijektiv

Sowohl injektiv als auch surjektiv → „eindeutige“ Zuordnung

Basisfertigkeiten (Ebene 1 der Zahlbegriffsentwicklung)

Unterscheiden kleiner Anzahl

Mengenvergleich

Erwerb der Zahlwörter, jedoch noch nicht zugeordnet

Anzahlkonzept (Ebene 2 der Zahlbegriffsentwicklung)

Erkenntnis: Zahlwörter repräsentieren Mengen

Exakter Mengenvergleich möglich

Vollständiges Verständnis der Zählprinzipien

Teil-Ganzes-Konzept entwickelt sich

Mengenrelationen als Anzahlen (Ebene 3 der Zahlbegriffsentwicklung)

Übergang zu arithmetischen Verständnis

Zerlegen und zusammensetzen von Zahlen, Beziehung zwischen Zahlen

Bündelungsprinzip

Fortgesetzte Bündelung von Elementen zu Einheiten

Bündelungseinheiten sind Potenzen von 10

Stellenwertprinzip (Positionssystem)

Der Wert einer Ziffer hängt von ihrer Position in der Zahl ab

Jede Ziffer hat zwei Informationen: Anzahlaspekt, Stellenwert

Nicht besetzte Stellen werten durch 0 kenntlich gemacht

Anwendungsorientierung (Grunderfahrung)

Anwendungs- und Modellierungsaufgaben zu Situationen aus der Lebenswelt

Strukturorientierung (Grunderfahrungen)

Mathematische Gegenstände und Sachverhalten repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln

Problemorientierung (Grunderfahrungen)

Problemlösefähigkeiten, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten)

Eindeutigkeitsprinzip

Jedem zu zählenden Objekt wird ein Zahlwort zugeordnet

Prinzip der stabilen Ordnung

Die Reihe der Zahlwörter hat eine stabile Ordnung

Kardinalzahlprinzip

Das zuletzt genannte Zahlwort gibt die Anzahl der Objekte in der Menge an

Abstraktionsprinzip

Es kann jede beliebige Menge ausgezählt werden, egal welche Objekte es sind

Prinzip der Irrelevanz der Anordnung

Anordnung und Reihenfolge der zu zählenden Objekte sind für das Zählergebnis nicht relevant