Integralrechnung in mehreren Variablen

Definition - n - dimensionaler Quader:

∀∈⊂→⟹∃δε∞ξ⇔∩αβγ∘≈⋅λ❬❭∂∇χΩμ

Ein n-dimensionaler Quader ist eine Menge Q der Form:

wobei I_i Intervalle sind.

Der Inhalt eines solchen Quaders ist:

Definition - Zerlegung, Feinheit, Durchmesser:

Eine Zerlegung P = {Q_k, 1 ≤ k ≤ K} eines Quaders

in disjunkte Teilquader Q_k ⊂ Q, 1 ≤ k ≤ K hat die Feinheit:

wobei der Durchmesser diam Q_k des Teilquaders Q_k gegeben ist durch:

Definition - Treppenfunktion:

Im Folgenden sei Q ein abgeschlossener und beschränkter Quader.

Eine Treppenfunktion f : Q → R auf einem solchen Quader ist eine Funktion, welche dargestellt werden kann als:

mit einer Zerlegung P = {Q_k, 1 ≤ k ≤ K} von Q und Konstanten c_k ∈ R, 1 ≤ k ≤ K. χQ_k bezeichnet dabei die charakteristische Funktion von Q_k, d.h. die Funktion:

Definition - Verfeinerung:

Eine Zerlegung

ist eine Verfeinerung der Zerlegung P = {Q_k, 1 ≤ k ≤ K} des Quaders Q, falls jedes \tilde Q_j in einem Quader Q_k enthalten ist.

Definition - Riemann-Integral einer Treppenfunktion:

Es sei Q ⊂ Rⁿ ein Quader wie oben.

Das Riemann-Integral einer Treppenfunktion

ist gegeben durch:

Definition - Riemann-Integral:

Es sei Q ⊂ Rⁿ ein Quader und f : Q → R eine beschränkte Funktion.

Das untere Riemann-Integral ist gegeben durch:

Das obere Riemann-Integral ist gegeben durch:

Die Funktion f heisst Riemann-integrierbar, falls gilt:

und wir setzen:

Satz - Eigenschaften der mehr-dimensionalen Riemann-Integrals:

Satz - Satz von Fubini:

Es seien K₁ ⊂ R^r und K₂ ⊂ R^s zwei Quader und entsprechend M := K₁ x K₂ ein Quader in R^{r + s}, und wir bezeichnen z = (x, y) ∈ R^{r + s}.

Ausserdem sei f(x, y) über M Riemann-integrierbar und für festes x ∈ K₁ sei die Funktion f_x : y |→ f(x, y) über K₂ Riemann-integrierbar.

Dann ist

über K₁ Riemann-integrierbar, und es gilt:

Korollar - abgeschlossener & beschränkter Quader mit R.I. Funktion:

Es sei

ein n-dimensionaler (abgeschlossener und beschränkter) Quader und f : Q → R Riemann-integrierbar. Dann gilt:

und die Reihenfolge der Integrationen darf beliebig vertauscht werden.

Definition - Jordan-messbar & Jordan-Mass:

Eine Teilmenge B (_⊂) Rⁿ heisst Jordan-messbar, falls es einen abgeschlossenen Quader Q (_⊂) Rⁿ mit B (_⊂) Q gibt, so dass die charakteristische Funktion von B auf Q Riemann-integrierbar ist. Das Volumen/der Inhalt von B ist in diesem Fall durch:

definiert und wir nennen dies das n-dimensionale Jordan-Mass von B.

Lemma - Endliche Durchschnitte und Vereinigungen von Jordan-Messbaren Mengen:

Endliche Durchschnitte und Vereinigungen von Jordan-messbaren Mengen sind wiederum Jordan-messbar.

Falls A und B Jordan-messbar sind, ist auch A \ B Jordan-messbar und es gilt:

Definition - Elementarfigur:

Eine Menge E der Form:

wobei Q_k, 1 ≤ k ≤ K disjunkte Quader sind, nennen wir Elementarfigur.

Satz - Äquivalente Aussagen:

Es sei Ω ⊂ Rⁿ beschränkt. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. Ω ist Jordan-messbar

2. Für jedes ε > 0 gibt es Elementarfiguren E, G ⊂ Rⁿ mit E ⊂ Ω ⊂ G und:

   

3. ∂Ω ist Jordan-messbar, und μ(∂Ω) = 0

In jedem dieser Fälle gilt:

Satz - Eigenschaften des Jordan-Masses:

1. Subadditivität:

   1. Es seien Ω_k ⊂ Rⁿ Jordan-messbar (1 ≤ k ≤ K). Dann ist

      

Jordan-messbar und es gilt:

2. Translationsinvarianz:

   1. Sei Ω ⊂ Rⁿ Jordan-messbar und a ∈ Rⁿ. Dann ist Ω + a ebenfalls Jordan-messbar und es gilt: μ(Ω) = μ(Ω + a).

3. Rotationsinvarianz:

   1. Es sei Ω ⊂ Rⁿ Jordan-messbar, und es sei R ∈ SO(n). Dann ist:

      

auch Jordan-messbar, und es gilt: μ(Ω) = μ(RΩ).

Definition - über Ω Riemann-integrierbar:

Es sei Ω _⊂ Rⁿ Jordan-messbar und f : Ω → R eine beschränkte Funktion.

Dann heisst f über Ω Riemann-integrierbar, falls es einen abgeschlossenen Quader Q mit Ω ⊂ Q gibt, sodass f ⋅ χ_Ω über Q Riemann-integrierbar ist. In diesem Fall setzen wir:

Satz - Riemann-Integrierbar und diesjunkte Jordan-messbare Quader:

Es sei f : Ω → R eine beschränkte und über Ω Riemann-integrierbare Funktion und Ω = {Ω_k, 1 ≤ k ≤ K } eine Zerlegung von Ω in disjunkte, Jordan-messbare Quader. Dann gilt:

Definition - (Lebesgue-) Nullmenge:

Eine Menge Ω ⊂ Rⁿ heisst (Lebesgue-)Nullmenge, falls für jedes positive ε > 0 die Menge Ω mit höchstens abzählbar vielen abgeschlossenen Quadern Q_i überdeckt werden kann, sodass gilt:

Definition - Jordan-Nullmenge:

Eine Menge Ω ⊂ Rⁿ heisst Jordan-Nullmenge, falls für jedes positive ε > 0 die Menge Ω mit endlich vielen abgeschlossenen Quadern Q_i überdeckt werden kann, sodass gilt:

Proposition - Es gelten die folgenden Tatsachen:

1. Ist Ω eine Jordan-Nullmenge, ist Ω auch eine Lebesgue-Nullmenge.

2. Jede Teilmenge einer Nullmenge (Jordan-Nullmenge) ist eine Nullmenge (Jordan-Nullmenge)

3. Eine Jordan-Nullmenge ist auch eine Nullmenge.

4. Eine Jordan-Nullmenge ist beschränkt.

5. Eine einpunktige Menge ist eine Jordan-Nullmenge.

6. Eine endliche Vereinigung von Jordan-Nullmengen ist eine Jordan-Nullmenge.

7. Eine abzählbare Vereinigung von Nullmengen ist eine Nullmenge.

8. Jede albzählbare Menge ist eine Nullmenge.

9. Der Abschluss einer Jordan-Nullmenge ist wiederum eine Jordan-Nullmenge.

   1. Eine kompakte albzählbare Nullmenge ist Jordan-Nullmenge.

Theorem - Lebesguesches Integralkriterium:

Es sei f : Q → R eine beschränkte Funktion auf einem Quader Q ⊂ R. Dann ist f über Q genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f eine (Lebesgue-)Nullmenge ist, d.h. genau dann, wenn f fast überall stetig ist.

Korollar - Riemann-ntegrierbar & Unstetigkeitsstellen:

Es sei f : Ω → R eine beschränkte Funktion auf einer Jordan-messbaren Menge Ω ⊂ R.

Dann ist f über Ω genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von f eine (Lebesgue-)Nullmenge ist, d.h. genau dann, wenn f fast überall stetig ist.

Korollar - Folgende Tatsachen über Jordan-Nullmenge:

→ Seite 323 - Transformationssatz und Substitution

Es gelten die folgenden Tatsachen:

1. Es sei G ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(G, Rⁿ) und X ⊂ G eine kompakte Jordan-Nullmenge. Dann ist f(X) auch eine Jordan-Nullmenge.

2. Es sei G ⊂ Rⁿ offen, f ∈ C¹(G, R^m) mit n < m und X ⊂ G eine kompakte Menge. Dann ist f(X) auch eine Jordan-Nullmenge.