ModSim: HS 1

Onderscheid een systeem van iets dat geen systeem is en leg het verschil uit.

= een verzameling elementen, onderdelen of componenten die op een samenhangende manier zijn georganiseerd en met elkaar zijn verbonden tot een patroon of structuur die een kenmerkende reeks gedragingen voortbrengt die een ‘functie’ of ‘doel’ wordt genoemd.

Let op de drie aspecten in deze definitie:

• een systeem bestaat uit componenten;

• deze componenten staan op een of andere manier met elkaar in wisselwerking;

• deze wisselwerkingen leiden tot gedrag op systeemniveau.

Voorbeelden van systemen zijn:

• Een zenuwcel bestaat uit veel verschillende soorten moleculen en organellen die op elkaar inwerken, zodat de cel informatie van andere neuronen kan verzamelen, verwerken en doorgeven.

• Een aquatisch ecosysteem bestaat uit verschillende soorten en niet-levende componenten die samenwerken om voedingsstoffen te recyclen en biomassa te produceren.

→ Een systeem is meer dan de som der delen — alleen het systeem als geheel vertoont adaptief, doelgericht, zelfbehoudend en soms evolutionair gedrag.

Niet alles is een systeem; een verzameling niet-op elkaar inwerkende componenten gedraagt zich niet als één geheel. Een hoop zand is bijvoorbeeld geen systeem. Het toevoegen of verwijderen van zand leidt niet tot kwalitatief ander gedrag. Aan de andere kant leidt het verwijderen van spelers uit een team tot het verlies van de werking ervan.

Systemen kunnen natuurlijk, kunstmatig of een combinatie daarvan zijn.

Leg het verschil uit tussen een open, gesloten en half-open systeem. Geef een voorbeeld van elk.

Systemen maken deel uit van hun omgeving. Afhankelijk van het feit of ze materie, energie of informatie met de omgeving kunnen uitwisselen, spreken we van een open, gesloten of semi-open systeem (afb. 1.2). De systeemgrenzen (het celmembraan, de wanden van een reactor, enz.) scheiden het systeem van zijn omgeving. Een systeem kan met de omgeving in wisselwerking staan via inputs (die het systeem binnenkomen) en outputs (die het systeem verlaten). De meeste systemen die we in deze cursus tegenkomen, zijn dynamisch, wat betekent dat de functie, outputs of interne toestanden in de loop van de tijd zullen veranderen.

vb.

• gesloten systeem: afgesloten thermofles

• open systeem: een plant

• semi-open systeem: ?

Leg stocks, flows en feedback uit adhv een tekening. Gebruik een voorbeeld.

Stocks of stakes zijn de elementen die op verschillende tijdstippen worden gemeten. In een diagram worden ze weergegeven door vakjes. Stocks worden opgebouwd en fungeren als buffers. Stocks zijn hulpbronnen of materialen die tastbaar (water, stikstof, biomassa, ...) of ontastbaar (geld, informatie, geluk, ...) zijn. Stakes zijn algemener en omvatten zowel fysische variabelen, zoals temperatuur, druk, ....

Flows vertegenwoordigen de momenten waarop hulpbronnen een systeem binnenkomen, verlaten of zich daarbinnen bevinden. Flows, weergegeven als pijlen, kunnen positief of negatief zijn en de voorraad veranderen door deze te vullen, leeg te maken, te laten groeien, te produceren, te laten vergaan, te evalueren, te verliezen, af te scheiden of te transformeren.

Feedback is een gesloten keten van causale verbanden waarbij een verandering in een voorraad een stroom beïnvloedt, die op zijn beurt weer de voorraad beïnvloedt. Het is het mechanisme waarmee een systeem zichzelf kan reguleren, hetzij door verandering te versterken, hetzij door deze te dempen.

Wat is het verschil tussen positieve en negatieve feedback? Schets een grafiek van hun gedrag.

Positieve terugkoppeling houdt in dat hoe hoger de waarde van de voorraad is, hoe sneller deze stijgt, d.w.z. hoe groter de instroom is. Bevolkingsgroei is een goed voorbeeld van positieve terugkoppeling. Als er meer individuen zijn, kunnen ze meer nakomelingen krijgen, zolang niets hen tegenhoudt. Positieve terugkoppeling werkt vaak destabiliserend.

Negatieve terugkoppeling werkt de oorspronkelijke verandering tegen, d.w.z. ze remt haar eigen activiteit af. Het is meestal een stabiliserende kracht. Veel biologische processen worden gemedieerd door negatieve terugkoppeling; denk bijvoorbeeld aan de verschillende hormonale processen die de fysiologie van een persoon in evenwicht houden. Hoewel negatieve terugkoppeling het systeem vaak stabiliseert, kan het ook leiden tot oscillaties wanneer de terugkoppeling vertraagd is. De klassieke Lotka-Volterra-modellen van prooi en roofdier vertonen bijvoorbeeld oscillerend gedrag omdat de roofdieren hun populatiegrootte beperken via hun prooi.

Hernieuwbare grondstoffen zijn flow gelimiteerd, niet-hernieuwbare stockgelimiteerd. Leg uit.

→ Niet-hernieuwbare grondstoffen zijn stock-gelimiteerd omdat de totale hoeveelheid (stock) eindig is. Wat betekent dat? De grondstof zit opgeslagen als een vaste voorraad in de natuur.
Er komt geen of bijna geen nieuwe aanvoer bij op menselijke tijdschalen.

→ Hernieuwbare grondstoffen zijn flow-gelimiteerd omdat ze opnieuw aangroeien. Er bestaat dus:

• een stock (bijvoorbeeld een vispopulatie)

• maar er is ook een natuurlijke instroom (flow)

De beperking zit niet zozeer in de totale voorraad, maar in hoe snel de resource kan worden aangevuld.

Wat zijn de belangrijkste gelijkenissen en verschillen tussen een wiskundig en een niet-wiskundig model? Geef daarbij een voorbeeld van beiden.

Een wiskundig model is een vereenvoudigde weergave van een systeem of verschijnsel uit de werkelijkheid, waarbij wiskundige vergelijkingen, verbanden en logica worden gebruikt om het gedrag ervan te begrijpen, te voorspellen of te sturen. De belangrijkste punten hierbij zijn:

• een model heeft betrekking op een specifiek systeem (een klein deel van de werkelijkheid);

• het is een vereenvoudiging; de mate van realisme hangt af van de doelstellingen van de modelleerder;

• het moet kwantitatief zijn: de uitkomst moet numeriek zijn in plaats van kwalitatief.

Een wiskundig model stelt iemand dus in staat om kwantitatief over het betreffende systeem te redeneren. Niet alle modellen zijn wiskundige modellen. Sommige zijn fysisch of conceptueel. Biologen werken bijvoorbeeld graag met Arabidopsis thaliana als een veelgebruikt modelsysteem in de plantbiologie. Omdat de plant klein is en een bekend genoom heeft, is het een vereenvoudigd model in vergelijking met landbouwkundig belangrijkere, maar complexere gewassen zoals broccoli of kool. Op dezelfde manier maken architecten maquettes van hun ontwerpen, en onze faculteit beschikt over een windtunnel om bodemerosie te modelleren.

Herken en benoem de variabelen, inputs, parameters en constanten van een model.

Een wiskundig model bestaat doorgaans uit vergelijkingen, computercode en numerieke grootheden die het gedrag bepalen. Deze grootheden kunnen worden onderverdeeld in

1. Toestanden of variabelen: de fundamentele grootheden die het systeem op elk willekeurig moment beschrijven (bijv. de voorraden in het systeem). Dit zijn de zaken die veranderen naarmate het systeem zich ontwikkelt. Voorbeelden van toestanden zijn het waterpeil, de temperatuur van een object, de concentratie van een chemische stof, enz. Bij het modelleren willen we de toestanden bijhouden.

(a) Onafhankelijke variabelen, zoals tijd t of ruimtelijke coördinaten, zijn bekend of worden vastgesteld door de modelleerders (bijvoorbeeld inputs die aan het systeem worden gegeven). Ze veranderen onafhankelijk van andere modelcomponenten, vandaar de naam.

(b) Afhankelijke variabelen veranderen afhankelijk van de andere toestandsvariabelen. We modelleren bijvoorbeeld een concentratie of een druk als een functie van de onafhankelijke variabele tijd.

2. Constanten zijn grootheden in het systeem die bekend zijn en vastliggen. Dit kunnen wiskundige constanten zijn, zoals of e, of fysische constanten, zoals de zwaartekrachtconstante, ...

3. Parameters zijn waarden die van experiment tot experiment kunnen variëren en vaak experimenteel moeten worden bepaald. Groeisnelheden, reactiesnelheden of diffusiecoëfficiënten zijn bijvoorbeeld typische parameters waarmee de bio-ingenieur te maken kan krijgen. Belangrijk is dat, net als bij constanten, parameters binnen een bepaalde run in een model vastliggen. Anders zijn het variabelen!

Leg uit wat de voor- en nadelen zijn van een complex model (tov een eenvoudig model)

pos:

• zijn realistischer en leveren specifiekere voorspellingen op

• kunnen gedetailleerdere informatie over het systeem weergeven

neg:

• vereisen meer gegevens om te kalibreren en te valideren

• zijn moeilijker te begrijpen

• zijn rekenkundig gezien duurder

Modellen kunnen in complexiteit variëren van zeer eenvoudig (een paar vergelijkingen en variabelen) tot uiterst complex (duizenden vergelijkingen en variabelen). Hoewel complexe modellen een systeem veel gedetailleerder kunnen weergeven, zijn ze ook veel moeilijker te bouwen, te parametriseren en te valideren. Bovendien leidt een grotere complexiteit slechts soms tot een grotere nauwkeurigheid of bruikbaarheid. Een eenvoudiger model dat de essentiële dynamiek van een systeem weergeeft, kan meer inzicht bieden en gemakkelijker te interpreteren zijn dan een zeer gedetailleerd maar ondoorzichtig model. De keuze voor de complexiteit van een model houdt vaak een afweging in tussen nauwkeurigheid, interpreteerbaarheid en rekenkracht. Eenvoudige modellen offeren mogelijk enige nauwkeurigheid op ten gunste van duidelijkheid en gebruiksgemak, terwijl complexe modellen mogelijk uitgebreide gegevens en rekenkracht vereisen om effectief te zijn. Het juiste niveau van complexiteit hangt af van de specifieke doelstellingen van de modellering, de beschikbare gegevens en het gewenste niveau van inzicht in het systeem. In deze cursus richten we ons op kleine modellen die de essentie van een systeem kunnen weergeven, met als hoofddoel het verkrijgen van inzicht.

Geef de vier belangrijke doelen van een wiskundig model. Geef bij elk een voorbeeld.

Als biowetenschappelijke ingenieurs zijn er verschillende redenen waarom we geïnteresseerd zouden zijn in het opstellen van een wiskundig model:

1. voor het voorspellen van toekomstige toestanden;

2. voor het ontwerpen en optimaliseren van het systeem;

3. voor het schatten en regelen, met behulp van feedback en metingen;

4. voor de interpreteerbaarheid en het fysisch inzicht.

Een bioreactormodel kan bijvoorbeeld:

1. Het groeitraject van het ferment voorspellen.

2. Worden gebruikt om de reactor te dimensioneren (beluchtingshoeveelheid enz.).

3. Productconcentraties (niet waargenomen) schatten op basis van sensormetingen (waargenomen).

4. Helpen begrijpen hoe de processen met elkaar samenhangen.

Herken of een model lineair is. Geef de voor- en nadelen van een lineair model tegenover een niet-lineair model.

Een model is lineair als een verandering in de invoer overeenkomt met een evenredige verandering in de uitvoer. L(ax+by) = aL(x) + bL(y)

Niet-lineaire modellen hebben complexere relaties tussen variabelen. Kenmerken:

• veranderingen zijn niet proportioneel

• grafieken zijn vaak curves

• interacties tussen variabelen komen vaak voor

voordelen:

• wiskundig eenvoudiger

• makkelijker te analyseren

• sneller te berekenen

• goede benadering voor kleine veranderingen

nadelen:

• minder realistisch: veel echte systemen zijn niet-lineair

• geen complexe dynamiek: bevatten meestal geen chaos, oscillaties, …

  • beperkte toepassingsgebied

Leg het verschil uit tussen een dynamisch en statisch model.

Statisch model = beschrijft een systeem op één specifiek moment in de tijd

→ momentopname

• tijd speelt geen rol

• variabelen veranderen niet in de tijd

• het systeem wordt als constant beschouw

Het model beschrijft enkel de relatie tussen variabelen op dat moment.

Dynamisch model = beschrijft hoe een systeem verandert in de tijd

—> bevat expliciet tijdsafhaneklijke variabelen

• tijd is een belangrijke variabele

• variabelen veranderen continu

• het model beschrijft processen en evolutie

Op welke manieren kan een model “discreet” zijn? Waarom zijn computermodellen altijd in zekere mate discreet?

Discrete modellen:

• Systemen worden weergegeven als een verzameling afzonderlijke, losstaande elementen of toestanden.

• Variabelen veranderen in vastomlijnde stappen of sprongen.

• Voorbeelden: bordspellen, wachtrijsystemen, bevolkingsmodellen met afzonderlijke generaties.

Continue modellen:

• Systemen worden weergegeven met vloeiende, ononderbroken veranderingen.

• Variabelen kunnen elke waarde binnen een bepaald bereik aannemen.

• Voorbeelden: vloeistofstroming, temperatuurveranderingen, de beweging van planeten.

Computermodellen zijn altijd in zekere mate discreet, omdat computers zelf digitale machines zijn. Zij kunnen geen volledig continue grootheden exact representeren.

Geef een voorbeeld van een deterministisch en stochastisch model. Leg daarbij het verschil tussen de twee uit.

Deterministische modellen gaan ervan uit dat alle variabelen en parameters met zekerheid bekend zijn. Op basis van de beginvoorwaarden en de vergelijkingen van het model kan het toekomstige gedrag van het systeem nauwkeurig worden voorspeld, als een uurwerk. Er is geen sprake van willekeur, en dezelfde invoer levert altijd dezelfde uitvoer op. Deterministische modellen worden vaak gebruikt wanneer de onderliggende processen goed begrepen worden en de bronnen van variabiliteit minimaal zijn of verwaarloosbaar. De bewegingswetten van Newton beschrijven de deterministische relatie tussen kracht, massa en versnelling. Gegeven de beginspositie en -snelheid van een object kan de toekomstige baan ervan nauwkeurig worden berekend.

vb.: predicting the trajectory of a projectile in a vacuum

Stochastische modellen daarentegen nemen willekeur of onzekerheid expliciet op in het model. Ze erkennen dat sommige variabelen of parameters mogelijk niet met zekerheid bekend zijn en dat er inherente variabiliteit kan zitten in het gedrag van het systeem. Stochastische modellen maken doorgaans gebruik van kansverdelingen die het bereik van mogelijke uitkomsten en hun waarschijnlijkheden weergeven. Deze modellen zijn essentieel bij het omgaan met complexe systemen waarin onzekerheid een belangrijke rol speelt, zoals weersvoorspellingen, financiële markten of biologische processen. Een stochastisch model van aandelenkoersen zou bijvoorbeeld willekeurige schommelingen kunnen opnemen om de onvoorspelbare aard van marktbewegingen weer te geven. Het model zou een reeks mogelijke toekomstige koersen en hun waarschijnlijkheden opleveren.

vb.:predicting the spread of a disease, where individuel interactions are unpredictable

Bespreek het verschil tussen data-gedreven en mechanistisch modelleren. Gegeven een voorbeeld, leg uit wrm of wnr je het een of het ander zou prefereren.

Een datagestuurd model is voornamelijk gebaseerd op waargenomen gegevens.

+ Legt elk patroon vast bij voldoende gegevens

+ Geschikt voor voorspellingen

- Is mogelijk niet generaliseerbaar

- Lagere verklaringskracht

Een mechanistisch model is voornamelijk gebaseerd op kennis van onderliggende processen en natuurkundige wetten.

+ Kan worden toegepast op nieuwe scenario’s

+ Inzicht in onderliggende processen

- Vereist gedetailleerde kennis

- Soms rekenintensief

Gegeven een onderzoeksvraag, leg uit of je een spatiaal expliciet of impliciet model zou gebruiken. Zorg daarbij dat het verschil tussen de twee duidelijk is.

Ruimtelijk expliciet:

• Houdt rekening met de locatie en de ruimtelijke indeling van componenten.

• Geeft interacties en processen weer die afhankelijk zijn van de locatie.

• Voorbeeld: de verspreiding van een ziekte in een stad, waarbij rekening wordt gehouden met hoe mensen zich verplaatsen en met elkaar omgaan.

Ruimtelijk impliciet:

• Negeert ruimtelijke locaties en gaat ervan uit dat alle componenten „goed gemengd” zijn.

• Eenvoudiger, maar legt mogelijk geen belangrijke ruimtelijke dynamieken vast.

• Voorbeeld: Een eenvoudig bevolkingsgroeimodel zonder rekening te houden met waar individuen wonen.

Wat zijn “lumped” modellen?

“Lumped” modellen (geconcentreerde modellen) zijn modellen waarbij men aanneemt dat grootheden zoals temperatuur, concentratie of druk niet variëren in de ruimte, maar overal in het systeem dezelfde waarde hebben. Het systeem wordt dus voorgesteld als één homogeen geheel. Hierdoor hangen de variabelen enkel af van de tijd en niet van de plaats, en wordt het model beschreven met gewone differentiaalvergelijkingen (DVG’s) in plaats van partiële differentiaalvergelijkingen.

Daartegenover staan gedistribueerde modellen, waarbij grootheden wél variëren in de ruimte. In dat geval zijn de variabelen functies van zowel plaats als tijd en worden ze beschreven met partiële differentiaalvergelijkingen (PDV’s).

Leg uit hoe je een PDV zou benaderen door een stelsel van gewone DVG.

Om een PDV om te zetten naar een stelsel van gewone differentiaalvergelijkingen, ga je

het systeem discretiseren in de ruimte.

Dit betekent dat je het ruimtelijke domein (bijvoorbeeld een staaf of een buis) opdeelt in een eindig aantal kleine stukjes of knooppunten.

Vervolgens

neem je aan dat binnen elk klein stukje de grootheden ongeveer constant zijn

(dus lokaal “lumped”). In plaats van een continue functie van de ruimte, werk je dan met een eindig aantal variabelen, bijvoorbeeld de temperatuur op elk knooppunt.

Daarna

vervang je de ruimtelijke afgeleiden in de PDV door benaderingen met eindige verschillen tussen naburige punten.

Hierdoor verdwijnt de ruimtelijke afgeleide en krijg je voor elk knooppunt een vergelijking die enkel nog afhangt van de tijd.

Op die manier ontstaat een stelsel van gekoppelde gewone differentiaalvergelijkingen, waarbij elke vergelijking de evolutie in de tijd beschrijft van één punt in de ruimte, en gekoppeld is aan de naburige punten.

Wat is het verschil tussen een simulatie en een emulatie?

Het verschil tussen een simulatie en een emulatie ligt vooral in hoe nauwkeurig het oorspronkelijke systeem wordt nagebootst en met welk doel.

Een simulatie is een vereenvoudigde nabootsing van een reëel systeem. Men bouwt een model dat enkel de belangrijkste eigenschappen en gedragingen van het systeem bevat, en voert dat model uit om te bestuderen hoe het systeem zich gedraagt onder verschillende omstandigheden. Een simulatie abstraheert dus van details die niet relevant zijn voor de onderzoeksvraag. Het doel is meestal inzicht verkrijgen, voorspellingen doen of hypothesen testen.

Een emulatie daarentegen probeert een systeem zo exact mogelijk te reproduceren, inclusief alle functies en eigenschappen. Het doel is dat het nagebootste systeem zich identiek gedraagt als het originele systeem. Een typisch voorbeeld is een computeremulator die ervoor zorgt dat software van een ander systeem exact hetzelfde werkt.

Maak een diagram van de simulatiecyclus en leg uit.

De cyclische relatie tussen de virtuele en de reële wereld in

de context van modellering en simulatie. Het model fungeert als het centrale element dat deze twee werelden met elkaar verbindt. Het proces begint in de virtuele wereld met analyse en simulatie, waarbij het model aan verschillende scenario’s wordt onderworpen en het gedrag ervan wordt geobserveerd. De inzichten die uit deze simulaties worden verkregen, worden vervolgens via metingen en systeemgegevens vertaald naar de reële wereld. Gegevens uit de echte wereld worden gebruikt om het model te valideren, waardoor de nauwkeurigheid en effectiviteit ervan worden gewaarborgd. De cyclus keert terug naar de virtuele wereld met abstractie, waarbij de gegevens uit de echte wereld in het model worden verwerkt, waardoor het wordt verfijnd en verbeterd.