3 VEKTORSKI PROSTORI IN BAZA

definiraj vektorski prostor

vektorski podprostor

ekvivalenten pogoj za vektorski PODprostor

Naj bo V vektorski prostor nad IF, neprazna U < V. U zaprta za linearno kombinacijo poljubnih dveh vektorjev iz U, potem je U podprostor.

linearna kombinacija vektorjev

zaprtost za linearne kombinacije

definiraj presek, vsoto in direktno vsoto vektorskih podprostorov

Ali sta presek in vsota sta podprostora?

enoličnost zapisa v direktni vsoti

definiraj linearno ogrinjačo množice

Naj bo V vektorski prostor nad IF in X neprazna množica vektorjev € V. Množico vseh linearnih kombinacij vektorjev iz X označimo z Lin X.

Je najmanjši vektorski podprostor, ki še vsebuje x.

definiraj linearno neodvisnost vektorjev

linearno odvisni vektorji

Vektorji v1, v2, …, vn so linearno odvisni, natanko tedaj ko je eden izmed njih linearna kombinacija ostalih.

definiraj ogrodje vektorskega prostora

V vektorski prostor nad IF, X < V

X je ogrodje: LinX = V

pomeni: vsak vektor v V je lin. kombinacija vektorjev iz X.

Baza je čim manjše ogrodje.

baza vektorskega prostora

Naj bo V vektorski prostor nad IF. Množica A je baza vektorskega prostora V, če velja:

1) množica A je ogrodje prostora V: Lin A = V

2) poljubna končna podmnožica vektorjev iz A je linearno neodvisna

Končno razsežen vektorski prostor: ima vsaj kakšno končno bazo

urejena baza vektorskega prostora

Če bazi B = {v1, .., vn} izberemo vrstni red vektorjev, smo dobili urejeno bazo.

Steinitzova lema o izmenjavi

zapiši posledico o dopolnjevanju linearno neodvisne množice do baze

Naj bo V končno razsežen vektorski prostor nad IF. Vsako množico linearno neodvisnih vektorjev v V lahko dopolnimo do baze prostora V

Posledica Steinitzeve leme:

Kaj velja za dimenzijo različnih baz končno razsežnega prostora V?

vse baze V imajo enako moč = št. elementov

I B I = I A I

definiraj dimenzijo vektorskega prostora

Če je V končno razsežen, je njegova dimenzija moč njegove baze = št. elementov v bazi.

oznaka: dim V

zapiši posledico, ki govori o številu linearno odvisnih vektorjev v vektorskem prostoru in dimenziji

V končno razsežen nad IF. Množica lin. neodvisnih vektorjev

X = {v₁, …, v_n} € V.

n =< dimV

enačaj velja: {v₁, …, v_n} je baza V

razvoj vektorja po bazi

prehodna matrika

lastnosti prehodnih matrik

zveza med vektorskim prostorom in njegovim podprostorom

V končno razsežen vekt. pr., U < V

1) dimU < dim V (dim U = dim V → U = V)

2) U tudi končno razsežen

3) vsako bazo U lahko dopolnimo do baze za V

dimenzija vsote in preseka

V končno razsešen nad IF, U1, U2 < V:

dim( U1 + U2) = dimU1 + dimU2 - dim(U1 _presek U2)

rang A^T = ?

rang A^T = rang A

zapiši trditev o oceni za rang produkta matrik