4 SKALARNI PRODUKT

skalarni produkt

norma in normiranje vektorja

definiraj enotski vektor v smeri danega vektorja

Pitagorev izrek

II u + v II² = II u II² + II v II²

Cauchy - Schwarzeva neenakost

I <u, v> I =< II u II * II v II

trikotniška neenakost

II u + v II =< II u II + II v II

pravokotna projekcija

kot med vektorjema

ortagonalna množica

X je ortagonalna, če sta vsaka dva različna vektorja iz X med sabo pravokotna:

Če imajo vsi vektorji normo ena je to ortonormirana množica.

ortagonalna baza in ONB

ortagonalna baza: ortagonalna množica vektorjev X = {v1, ..vn} in velja dim X = dim V

ONB: ortagonalna baza, kjer ima vsak vektor normo 1

Kdaj ima vektorski prostor ONB?

Ko je V končno razsežen ima končno bazo B = {v1,.., vn}, ki ji z Gram-Schmidt priredimo pravokotne normirane vektorje.

zapiši trditev, ki trdi, da je ortogonalni komplement podprostor

zapiši trditev o ortogonalnem komplementu linearne ogrinjače

Forierov razvoj

zapis vektorja kot vsote projekcij na elemente ortonormirane baze:

baza prostora v je B = {e₁, …, e_n}

v = <v, e₁>e₁ + <v, e₂>e₂ + … + <v,e_n>e_n = a₁e₁ + … + a_ne_n

<v, e₁> = <a₁e₁ + … + a_ne_n, e₁> = a₁ ; ostalo se pokrajša, ker so e₁,.., e_n pravokotni med sabo

ortagonalni komplemet množice

ortagonalnost implicira linearno neodvisnost

ortagonalna množica X = {v1,..vn} < V → v1 ,… vn so linearno neodvisni

pravokotna projekcija vektorja na podprostor

razdalja med vektorjem v in podprostorem U

d(v, U) = II v - proj_uV II

zapiši trditev o najbljižjemu vektorju

zapišin trditev o pravokotni projekciji vektorja na podprostor

U, X < V, čemu enačimo V ?