CM4 : Problème de Cauchy

Quelles sont les notations utilisées et le système étudié dans le problème de Cauchy pour une équation différentielle ?

On considère I ⊂ ℝ un intervalle,

U ⊂ ℝⁿ un ouvert non vide,

y₀ ∈ ℝⁿ,

f : U → ℝⁿ une fonction continue

et le système appelé problème de Cauchy défini par y'(t) = f(y(t)) pour tout t ∈ I avec la condition initiale y(t₀) = y₀ ;

Qu'appelle-t-on une solution du problème de Cauchy pour une équation différentielle (EDO) ? ****

Une solution du problème de Cauchy est un couple (J, y) où

J ⊂ I désigne un intervalle ouvert contenant t₀ tel que y(t) ∈ U pour tout t ∈ J et

y est une fonction de classe C¹ sur J qui vérifie y'(t) = f(y(t)) pour tout t ∈ J et y(t₀) = y₀ ;

Quelle relation intégrale caractérise une solution du problème de Cauchy pour une équation différentielle ? ****

Le couple (J, y) est une solution de l’EDO si et seulement si

y(t) = y₀ + ∫_t₀^t f(y(s)) ds pour tout t ∈ J ;

Quand dit-on qu'une fonction f : U → ℝⁿ est lipschitzienne ? ****

On dit que f est lipschitzienne s’il existe Lf > 0 tel que ||f(u) − f(v)|| ≤ Lf ||u − v|| pour tous u, v ∈ U ;

Qu'appelle-t-on une fonction localement lipschitzienne ? ****

On dit que f est localement lipschitzienne si pour tout R > 0 il existe LR > 0 tel que ||f(u) − f(v)|| ≤ LR ||u − v|| pour tous u, v ∈ U ∩ B(0,R) ;

Quand dit-on qu'une fonction est contractante ? ****

On dit que f est contractante si elle est lipschitzienne et si sa constante de Lipschitz Lf vérifie Lf < 1 ;

Qu’est-ce qu’un ensemble convexe ?

Sous quelle condition une fonction f est-elle localement lipschitzienne sur U ? ****

Si U est un ouvert convexe et si f est de classe C¹ sur U

alors f est localement lipschitzienne sur U ;

Quelle condition sur la dérivée d'une fonction garantit qu'elle est lipschitzienne sur U ? ****

Si U est un ouvert convexe et si f est une fonction de classe C¹ dont la différentielle d_f(z) est bornée uniformément (∃ M > 0 tel que ∀n, ∀x∈U, ∣fn​(x)∣ ≤ M) sur U alors f est lipschitzienne sur U ;

Comment caractériser la propriété lipschitzienne d'une fonction vectorielle à partir de ses composantes ? ****

Soit f une fonction dont les composantes sont fᵢ pour i = 1,…,n alors f est lipschitzienne ou localement lipschitzienne si et seulement si toutes les composantes fᵢ le sont ;

Que dit le lemme des inégalités de Gronwall pour deux fonctions continues φ et ψ ?

Si φ et ψ sont continues sur ]t₀ − c, t₀ + c[ avec c > 0 et

si λ > 0 avec ψ positive et

si φ(t) ≤ ψ(t) + λ ∫_t₀^t φ(s) ds pour tout t ∈ ]t₀ − c, t₀ + c[

alors φ(t) ≤ ψ(t) + λ ∫_t₀^t ψ(s)e^λ(t−s) ds

Que garantit le théorème lorsque la fonction f est lipschitzienne dans une équation différentielle ? ****

Si f est lipschitzienne alors le théorème assure l’existence et l’unicité d’une solution globale de l’EDO ;

Pourquoi l’hypothèse de Lipschitz sur f est-elle essentielle dans la preuve ?

L’hypothèse de Lipschitz permet de choisir δ > 0 indépendamment des conditions initiales ;

Que se passe-t-il si la fonction f est seulement localement lipschitzienne ?

Si f est seulement localement lipschitzienne alors δ dépend de la constante de Lipschitz locale et donc dépend de la condition initiale ;

Que peut-on dire de la construction de la solution lorsque f est seulement localement lipschitzienne ?

La solution se construit sur des intervalles de tailles variables δk > 0 et on ne peut pas assurer de construire une solution sur tout l’intervalle I ;

Que dit le théorème de Cauchy-Lipschitz dans le cas où f est localement lipschitzienne ? ****

Si f est une fonction continue et localement lipschitzienne alors

pour tout (t₀, y₀) ∈ I × U

il existe t₋ et t₊ tels que l’EDO admet une unique solution maximale définie sur ]t₋, t₊[ vérifiant y(t₀) = y₀ ;

Que peut-on dire de la limite d’une solution globale d’une EDO si elle converge quand t → +∞ ? ****

Si y est une solution globale du problème de Cauchy y'(t) = f(y(t)) avec y(t₀) = y₀ et si la limite l = lim_{t→+∞} y(t) existe dans ℝ alors l est un point d’équilibre vérifiant f(l) = 0 ;