Questions de colle

Montrer que sqrt(2) est irrationnel

Montrer qu’il existe un unique couple (f , g) de fonctions de R dans R avec f paire, g impaire et telles que ∀x ∈ R, ex = f (x) + g(x).

Montrer qu’il n’existe pas de suite d’entiers naturels infinie strictement décroissante

Montrer que

Calculer le produit des n premiers nombres pairs et en déduire celui des n premiers nombres impairs.

Calculer :

Montrer la formule du binôme de Newton.

Montrer que si f : E → F et g : F → G sont injectives, alors g ◦ f est injective

Montrer que si f : E → F et g : F → G sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.

Montrer que si f : E → F et g : F → G sont bijectives, alors g ◦ f est bijective et exprimer (g ◦ f ) −1 en fonction f −1 et g −1 .

Montrer que si f : E → F et g : F → E sont telles que f ◦ g = idF et g ◦ f = idE , alors f est bijective et sa réciproque est g = f −1 .

Soient f : E → F et g : F → G. Montrer que si g ◦ f est injective, alors f est injective.

Soient f : E → F et g : F → G. Montrer que si g ◦ f est surjective, alors g est surjective.

Démonstration de l’inégalité triangulaire et cas d’égalité. (module)

Définition de la fonction tangente. Propriétés et allure de la courbe.

Soit n ∈ N. Montrer qu’il existe un polynôme Pn à coefficients réels tels que : ∀x ∈ R, cos(nx) = Pn (cos x).

Définition de l’exponentielle complexe. Module et argument. Méthode de résolution de l’équation dans C, ez = a, avec a ∈ C ∗ .

Résoudre une équation du second degré donnée par l’examinateur.

Propriétés du nombre j. Somme des racines n-ième de l’unité.

Méthode de résolution d’une équation z^n = a, avec a ∈ C ∗ . Exemple : résoudre z^n + 1 = 0

Soit n un entier tel que n ≥ 2. Déterminer tous les complexes z ∈ C tels que (z + i)^n − (z − i)^n = 0

Définition de la partie entière. Prouver l’existence et l’unicité

Montrer que tout réel x est la limite d’une suite de décimaux. En déduire que D (donc Q) est dense dans R.

Énoncer le théorème : de la dérivée de la réciproque, des valeurs intermédiaires, de la bijection continue.

Montrer que f : x → cos 1/x n’a pas de limite en 0.

Montrer par deux méthodes que : ∀x ∈ [−1, 1], arccos(x) + arcsin(x) = π/2 .

Montrer que la fonction arctangente est dérivable sur R et arctan0 (x) = 1/1+x 2 . Représentation graphique.

Montrer par deux méthodes que : ∀x ∈ R ∗ , arctan(x) + arctan(1/x) = sg(x) × π/2 .

(exercice) Montrer que sh admet une bijection réciproque argsh définie sur R et donner une expression explicite et sa dérivée.

(exercice) Montrer que th admet une bijection réciproque argth définie sur ] − 1, 1[ et donner une expression explicite et sa dérivée.

Déterminer une primitive de x 7→ 1/x−α sur R lorsque α = a + i b, avec b 6= 0.

Résoudre sur R l’équation (1 − t) y’ − y = t, avec recollement.

Énoncer la forme des solutions de l’équation (H) : y ‘‘ + a y’ + b y = 0, avec a, b deux constantes réelles. Donner les solutions à valeurs dans K = R.

Résoudre y ‘‘ − 2y ‘ + y = (x − 1)ch(x) sur R.

Savoir résoudre une suite arithmético-géométrique donnée par l’examinateur.

Définition de la convergence d’une suite. Théorème d’unicité de la limite.

Toute suite convergente est bornée.

Limite de 1/un si u converge vers l != 0.

Théorème de la limite monotone.

Théorème des suites adjacentes

Démonstration de la formule de Taylor avec reste intégral

Retrouver les DL en 0 à tous ordres de arcsin x et arctan x par primitivation

Retrouver le DL de tan en 0 à l’ordre 5 par la formule tan’ = 1 + tan^2 .

Montrer que la composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupe. Montrer que la réciproque d’un isomorphisme de groupe est un isomorphisme de groupes

Montrer que l’image directe d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe. Montrer que l’image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes est un sous-groupe.

Déterminer les sous-groupes de (Z, +).

Montrer qu’un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’élément neutre.

Théorème de la division euclidienne : énoncé et démonstration.

Relation de Bézout : pour tout couple (a, b) E Z^2, il existe (u, v) E Z^2 tel que au + bv = a ^ b.

Déterminer tous les polynômes P de R[X] vérifiant P(X + 1) = P(X).

Preuve de la formule de Leibniz pour les polynômes (dérivée n-ième du produit PQ.)

Montrer que : si P et Q sont deux polynômes de degré inférieur ou égal à n qui coïncident en n + 1 points distincts, alors P = Q.

Caractérisation séquentielle de la limite. Preuve dans le cas où a ∈ R et l ∈ R.

Définition d’une fonction lipschitzienne sur un intervalle. Montrer que toute fonction lipschitzienne sur un intervalle I est continue sur I. Montrer que sqrt est lipschitzienne sur [1,+∞[, mais pas sur R+.