MATEMÁTICA PARA BECA UCU

¿Para qué dividimos al número total de trabajo en conjunto entre la suma de las partes de la razón?

Porque así obtenemos el valor de una sola parte de la razón, y luego podemos multiplicar por cada número de la razón para repartir el trabajo correctamente.

SUELDO NUEVO = sueldo viejo + aumento

Si el aumento es de 5/8 del sueldo viejo, ¿cómo queda el sueldo nuevo?

8/8 + 5/8 = 13/8

¿Qué es un aumento?

EL VALOR AGREGADO al VALOR ANTERIOR

Si algo aumenta en 3/10 sobre lo que valía, ¿eso es parte del valor nuevo o viejo?

Es una fracción del valor VIEJO

¿Los porcentajes sucesivos se suman?

NOO!!! Si fuero con descuentos por ejemplo, se hace un descuento sobre el valor original, el siguiente sobre el nuevo valor obtenido y asi sucesivamente.

Si tengo una fracción de 15/10 que vale 1500 y quiero saber cuánto es 1, ¿qué operación hago?

Divido a 1500 entre 15. Y ¿por qué?

¿Cuál es la diferencia entre una fracción y una división?

Ninguna

Si x^2 = 7, ¿la solución es racional o irracional? ¿Por qué?

Irracional, porque √7 no es raíz exacta.

¿√16 es racional o irracional?

Racional, porque √16 = 4.

¿√5 es racional o irracional?

Irracional, porque no es una raíz exacta.

¿Que una ecuación tenga raíz significa que la solución siempre es irracional?

No. Solo es irracional si la raíz no es exacta.

¿Qué responde un logaritmo?

El exponente al que hay que elevar la base para obtener un número.

¿A qué exponente hay que elevar la base para obtener ese número?

Eso es exactamente lo que indica el logaritmo.

¿Cuál es el valor de log(1)? ¿Por qué?

0, porque cualquier base elevada a 0 da 1.

¿Existe log(−5)? ¿Por qué?

No, porque el logaritmo solo existe para números positivos.

¿Existe log(0)?

No, porque ninguna potencia de la base da 0.

¿Para qué tipo de números existe el logaritmo?

Solo para números positivos.

Si un número es mayor que 1, su logaritmo es positivo o negativo?

Positivo.

Si 0 < x < 1, log(x) es positivo, negativo o cero?

Negativo.

Sin calcular: log(0,3) es mayor o menor que 0?

Menor que 0.

¿Cuándo el logaritmo vale exactamente 0?

Cuando el número es 1.

¿Cuál es la propiedad correcta de log(a·b)?

log(a·b) = log(a) + log(b)

Completá: log(a/b)= ?

log(a) − log(b)

Completá: log(a^k)= ?

k · log(a)

¿La expresión log a / log b es lo mismo que log(a/b)?

No.
log(a)/log(b) es cambio de base, no un cociente dentro del logaritmo.

Si a > b > 0, ¿a/b es mayor o menor que 1?

Mayor que 1.

Si a < b, entonces log(a/b) es positivo o negativo?

Negativo, porque a/b < 1.

Si a = b, ¿cuánto vale log(a/b)?

0, porque a/b = 1 y log(1) = 0.

¿Qué es un par ordenado?

 Es un par de números o elementos escritos como (a,b) donde el orden importa: el primero pertenece al primer conjunto y el segundo al segundo conjunto.

¿Es lo mismo (2,5) que (5,2)?

No. El orden importa. Son pares distintos porque el primer y segundo lugar representan cosas diferentes.

¿Qué significa A×B?

Es el producto cartesiano: el conjunto de todos los pares ordenados donde el primer elemento está en A y el segundo en B.

Si A tiene 3 elementos y B tiene 4, ¿cuántos pares tiene A×B?

  3×4=12

 Si A={1,2} y B={a,b,c}, escribe todos los pares de A×B.

(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)

Si un par es (x,y) en A×B, ¿de dónde sale x y de dónde sale y?

x sale de A y y sale de B.

¿Cuántos elementos tiene A×B si A tiene 5 elementos y B tiene 2?

  5×2=10

Si intercambiamos el orden y hacemos B×A, ¿la cantidad de pares cambia?

No cambia la cantidad (sigue siendo multiplicación), pero sí cambian los pares porque se invierte el orden.

¿Puede existir un par (3,0) si 3 está en B y 0 está en A, pero estamos formando A×B?

No. En A×B el primer elemento debe salir de A y el segundo de B.

¿Qué representa el primer lugar del par ordenado?

Representa un elemento del primer conjunto del producto cartesiano.

¿Qué representa el segundo lugar del par ordenado?

Representa un elemento del segundo conjunto del producto cartesiano.

Si A tiene 1 solo elemento y B tiene 8, ¿cuántos pares se forman?

  1×8=8

¿cuál es el área de un triángulo?

b x h /2

¿Cuál es el área de un rectángulo?

b x h

¿Cuál es el área de una circunferencia?

𝜋 x r²

Si una cantidad aumenta un 5% mensual, ¿por qué número se multiplica cada mes?

Respuesta: Por 1,05.

¿Qué diferencia hay entre que algo aumente un 8% una sola vez y que aumente un 8% todos los meses?

 Una sola vez → aumento simple.
Todos los meses → crecimiento compuesto (se multiplica por 1,08 cada mes).

Completa la fórmula del crecimiento porcentual:
Vf=Vi⋅(____)n

(1+r)

Si algo disminuye un 12% cada año, ¿cuál es el factor de cambio anual?

0,88

¿Qué indica el exponente n en una fórmula de crecimiento como Vi(1,08)n?

La cantidad de períodos (meses, años, etc.).

¿Por qué no se puede hacer 8% × 8 meses para resolver un crecimiento mensual del 8%?

Porque el aumento se calcula sobre un valor que va cambiando cada mes (es compuesto, no lineal).

Si hoy hay 1000 autos y crecen 10% mensual, escribe la expresión que calcula la cantidad dentro de 3 meses (sin resolver).

1000⋅(1,10)^3

Cuando no se indica la base de un logaritmo, ¿qué base tiene?

Tiene de base a 10

¿Cuál es la fórmula de pitágoras?

hipotenusa² = cateto² + cateto²

¿Qué es un porcentaje sucesivo?

Es cuando hay porcentajes uno después del otro, aplicados sobre el resultado de la aplicación del anterior porcentaje (en forma sucesiva)

¿Cómo se calcula y qué significa que algo aumenta un 8% mensual?

Que cada mes se multiplica por 1,08.

¿Cómo se llama el número 1,08 en un crecimiento del 8%?

Factor de crecimeinto

Si algo crece un 5% mensual durante 3 meses, ¿se multiplica por 1,05 o por (1,05)³?

Por (1,05)³. (si fue al azar cuenta como erronea, fijarse la explicación y realizar de nuevo)

Un valor aumenta el mismo porcentaje todos los meses. ¿Se suma el porcentaje o se multiplica por un factor?

Se multiplica por un factor de crecimiento cada mes.

Si algo aumenta 12% por período, ¿por qué número se multiplica cada vez?

Por 1,12.

Si un precio baja 20% y luego vuelve a bajar 20%, ¿la baja total es 40%?

No, es menor, porque cada descuento se aplica sobre un valor ya reducido.

¿Qué operación indica que un cambio se repite varias veces en el tiempo?

Una potencia.

Si una cantidad cambia un r% durante n períodos, ¿qué estructura tiene la cuenta?

Valor inicial × (1 ± r)ⁿ

Si el resultado crece cada vez más rápido, ¿es crecimiento lineal o compuesto?

Compuesto.

Fórmula del crecimiento compuesto

Vf = Vi ⋅ (1+r)^n

¿Qué representa r en la fórmula?

El porcentaje en forma decimal (ej: 8% = 0,08)

¿Qué representa n?

La cantidad de períodos o veces en los que el cambio se repite

¿Por qué no se hace r×n en aumentos sucesivos?

Porque cada aumento se aplica sobre el valor ya modificado → es crecimiento exponencial, no lineal

Si algo baja un 15% cada año, ¿qué factor se usa?

1−0,15=0,85

¿Qué tipo de crecimiento hay cuando aparece una potencia?

Crecimiento exponencial (cambio repetido sobre el nuevo valor)

Si un proceso tiene 3 pasos con A, B y C opciones, ¿cuántos resultados posibles hay?

A⋅B⋅C

¿Cuándo en conteo se multiplican las opciones y no se suman?

Cuando las elecciones ocurren una después de la otra

Fórmula básica del principio multiplicativo

Total de formas = producto de las formas de cada paso

Fórmula del seno

sin⁡(θ)=cateto opuesto / hipotenusa

Fórmula del coseno

cos⁡(θ)=cateto adyacente / hipotenusa

Fórmula de la tangente

tan(θ)=cateto adyacente/ cateto opuesto​

Relación entre tangente, seno y coseno

tan(θ)=cos(θ) / sin(θ)​

Identidad trigonométrica fundamental

sin⁡²(θ) + cos⁡²(θ) = 1

¿En qué tipo de triángulos se aplican seno, coseno y tangente?

En triángulos rectángulos

Idea clave del Teorema de Tales

Segmentos formados por rectas paralelas son proporcionales

Proporción básica en Tales

AB BC AC

—— = —— = ———

A’B’ B’C’ A’C’

¿Qué condición debe cumplirse para aplicar Tales?

Que haya rectas paralelas cortando otras rectas, o triángulos

Tales en triángulos: ¿qué se forma cuando una recta paralela corta dos lados?

Un triángulo más pequeño semejante al original

¿Qué significa que dos lados sean proporcionales?

Que mantienen la misma razón (misma fracción)

¿En qué orden se resuelven las operaciones?

Paréntesis → Potencias → Multiplicación y división → Suma y resta

¿Por qué es importante respetar la jerarquía?

Porque cambiar el orden cambia el resultado.

En 3 + 2 × 5, ¿qué se hace primero?

La multiplicación: 2 × 5 = 10 → después 3 + 10 = 13

¿Qué significa un “−” delante de un paréntesis?

Que todo lo de adentro se multiplica por −1 (cambian todos los signos).

Simplificá: −(x − 4 + 2)

−x + 4 − 2

¿Qué separa términos en una expresión?

Los signos + y −

¿Se pueden sumar 3x + 2?

No, porque no son términos semejantes.

¿Qué significa aplicar distributiva?

Multiplicar el número de afuera por cada término del paréntesis.

Resolvé: 4(x − 3)

4x − 12

¿Una fracción es solo una cuenta?

No, es un número.

¿Cómo se escribe 7 como fracción?

7/1

¿Se pueden sumar fracciones con distinto denominador directamente?

No, primero se busca denominador común.

¿Cuál es el error típico al sumar fracciones?

Sumar numerador con numerador y denominador con denominador.

¿Cómo se multiplican fracciones?

Numerador por numerador y denominador por denominador.

(2/3) × (5/4) = ?

10/12 = 5/6

¿Cómo se divide por una fracción?

Multiplicando por su inversa.

(3/5) ÷ (2/7) = ?

(3/5) × (7/2) = 21/10

¿Qué pasa cuando una fracción está al cuadrado?

Se eleva el numerador y el denominador.