Flashcard Corso di Matematica: Sistemi, Funzioni, Limiti e Derivate

Set di 300 flashcards per lo studio della risoluzione dei sistemi lineari, classificazione e studio di funzioni, calcolo dei limiti e delle derivate.

Sistema lineare omogeneo

Sistema in cui tutti i termini noti sono uguali a zero.

Sistema lineare non omogeneo

Sistema in cui almeno un termine noto è diverso da zero.

Matrice incompleta (A)

Matrice costituita esclusivamente dai coefficienti delle incognite di un sistema.

Matrice completa (B)

Matrice costituita dai coefficienti delle incognite e dai relativi termini noti.

Determinante di A ($|A|$)

Valore numerico associato a una matrice quadrata, calcolabile ad esempio con la regola di Sarrus o lo sviluppo di Laplace.

Regola di Sarrus

Metodo per il calcolo del determinante di una matrice di ordine $3 \times 3$.

Teorema di Cramer

Afferma che se il determinante di A è non nullo ($|A| \neq 0$), il sistema ammette un’unica soluzione.

Soluzioni di un sistema lineare

Terna ordinata $(x, y, z)$ o ennupla ordinata che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni del sistema.

Delta x ($\Delta x$)

Determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna delle incognite x con la colonna dei termini noti.

Delta y ($\Delta y$)

Determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna delle incognite y con la colonna dei termini noti.

Delta z ($\Delta z$)

Determinante della matrice ottenuta sostituendo la colonna delle incognite z con la colonna dei termini noti.

Rango di una matrice (rg)

L'ordine massimo dei minori non nulli estraibili da una matrice.

Minore di una matrice

Il determinante di una sottomatrice quadrata ottenuta eliminando alcune righe e colonne.

Sistema compatibile

Sistema che ammette almeno una soluzione ($rg A = rg B$).

Sistema incompatibile

Sistema che non ammette alcuna soluzione secondo il Teorema di Rouché-Capelli ($rg A \neq rg B$).

Teorema di Rouché-Capelli

Un sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa.

Infinità di soluzioni ($\infty^{n-r}$)

Numero di soluzioni di un sistema compatibile dove n è il numero di incognite e r è il rango.

Equazione superflua

Equazione che non concorre alla determinazione del rango e che può essere trascurata se dipendente dalle altre.

Parametro libero (es. $\alpha$ o $t$)

Variabile a cui viene assegnato un valore arbitrario per esprimere le infinite soluzioni di un sistema.

Soluzione nulla

Soluzione $(0, 0, \dots, 0)$ sempre ammessa dai sistemi omogenei.

Righe proporzionali

Righe i cui elementi corrispondenti hanno un rapporto costante; annullano il determinante.

Funzione f da A a B

Relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme A un unico elemento dell'insieme B.

Funzione reale a variabile reale

Funzione in cui gli insiemi A e B sono sottoinsiemi dei numeri reali ($A \subset \mathbb{R}, B \subset \mathbb{R}$).

Variabile indipendente

La variabile x, i cui valori sono scelti liberamente nel dominio.

Variabile dipendente

La variabile y, il cui valore dipende da quello assegnato alla variabile x tramite la funzione.

Immagine di x

Il valore $y = f(x)$ associato all'elemento x.

Controimmagine di y

L'elemento x tale per cui $f(x) = y$.

Funzioni algebriche

Funzioni dove il valore di y si ottiene tramite un numero finito di operazioni algebriche sulla x.

Funzioni razionali

Funzioni algebriche che contengono solo le quattro operazioni aritmetiche fondamentali.

Funzioni razionali intere

Funzioni razionali in cui la variabile x non compare al denominatore.

Funzioni razionali fratte

Funzioni razionali in cui la variabile x compare almeno una volta al denominatore.

Funzioni irrazionali

Funzioni in cui la variabile x compare sotto il segno di radice.

Funzioni trascendenti

Funzioni che non possono essere espresse solo tramite operazioni algebriche (es. logaritmi, esponenziali, funzioni goniometriche).

Esempio funzione intera

$y = \frac{2}{3}x^4 - 5x^2 + \frac{x}{2} - \frac{3}{5}$.

Esempio funzione fratta

$y = \frac{3x^2+1}{2x-3}$.

Esempio funzione irrazionale

$y = \sqrt{2x - 3}$.

Esempio funzione trascendente

$y = 3^{x-2}$ oppure $y = \ln(2x-1)$.

Dominio di una funzione

Sottoinsieme di $\mathbb{R}$ costituito dai valori di x per i quali l’espressione analitica $f(x)$ ha significato.

Dominio funzione razionale intera

Tutto l'insieme dei numeri reali ($D = \mathbb{R}$).

Dominio funzione razionale fratta

Tutti i numeri reali tali che il denominatore sia diverso da zero ($Q(x) \neq 0$).

Dominio funzione irrazionale (n pari)

L'argomento della radice deve essere maggiore o uguale a zero ($f(x) \geq 0$).

Dominio funzione irrazionale (n dispari)

Coincide con il dominio del radicando $f(x)$.

Dominio funzione esponenziale ($a^{f(x)}$)

Coincide con il dominio dell'esponente $f(x)$.

Dominio funzione logaritmica ($\log_a f(x)$)

L'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo (f(x) > 0).

Dominio funzione tangente ($\tan f(x)$)

Tutti i valori tali che $f(x) \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Intervallo limitato chiuso [a, b]

Insieme dei numeri reali compresi tra a e b, inclusi gli estremi.

Intervallo limitato aperto (a, b)

Insieme dei numeri reali compresi tra a e b, esclusi gli estremi.

Intervallo limitato chiuso a destra (a, b]

Insieme dei numeri reali tra a e b, escluso l'estremo sinistro a e incluso l'estremo destro b.

Intervallo limitato chiuso a sinistra [a, b)

Insieme dei numeri reali tra a e b, incluso l'estremo sinistro a ed escluso il destro b.

Intervallo illimitato aperto ($-\infty, +\infty$)

Rappresenta l'intero asse delle ascisse x.

Intervallo illimitato chiuso a destra ($-\infty, b]$

Insieme dei numeri reali minori o uguali a b.

Intervallo illimitato aperto a destra ($-\infty, b$)

Insieme dei numeri reali strettamente minori di b.

Intervallo illimitato chiuso a sinistra $[a, +\infty)$

Insieme dei numeri reali maggiori o uguali ad a.

Intervallo illimitato aperto a sinistra $(a, +\infty)$

Insieme dei numeri reali strettamente maggiori di a.

Simmetria rispetto all'asse y

Proprietà di una funzione pari dove $f(-x) = f(x)$.

Simmetria rispetto all'origine

Proprietà di una funzione dispari dove $f(-x) = -f(x)$.

Intersezione asse y

Punto ottenuto ponendo $x = 0$ nel sistema con la funzione.

Intersezione asse x

Punti ottenuti ponendo $y = 0$ (ovvero $f(x) = 0$).

Studio del segno

Procedimento che determina dove la funzione è positiva (f(x) > 0) o negativa (f(x) < 0).

Funzione costante

Funzione del tipo $y = c$, rappresentata graficamente da una retta orizzontale.

Retta di primo grado

$f(x) = ax + b$.

Parabola

Funzione di secondo grado del tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Cubica

Funzione di terzo grado del tipo $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$.

Vertice della parabola ($V$)

Punto di massimo o minimo di una parabola, di coordinate $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Iperbole equilatera

Funzione razionale fratta del tipo $y = \frac{k}{x}$, con asintoti coincidenti con gli assi coordinati.

Funzione omografica

Funzione del tipo $y = \frac{ax + b}{cx + d}$, che rappresenta un'iperbole equilatera traslata.

Arco di parabola con asse orizzontale

Rappresentato dalla funzione irrazionale $y = \pm \sqrt{ax + b}$.

Semicirconferenza

Porzione superiore o inferiore di una circonferenza espressa come $y = \pm \sqrt{-x^2 + bx + c}$.

Numero di Nepero (e)

Costante matematica approssimata a $2,718\dots$ utilizzata come base per esponenziali e logaritmi naturali.

Funzione esponenziale decrescente

$y = a^x$ con 0 < a < 1.

Funzione esponenziale crescente

$y = a^x$ con a > 1.

Logaritmo naturale ($\ln x$)

Logaritmo in base e ($\log_e x$).

Incrocio asse y per esponenziale $a^x$

Sempre il punto $A(0, 1)$, poiché $a^0 = 1$.

Incrocio asse x per logaritmo $\log_a x$

Sempre il punto $A(1, 0)$, poiché $\log_a 1 = 0$.

Sinusoide

Grafico della funzione $y = \sin x$.

Periodo del Seno

$T = 2\pi$.

Limitazione di Seno e Coseno

Valori compresi nell'intervallo $[-1, +1]$.

Cosinusoide

Grafico della funzione $y = \cos x$.

Tangentoide

Grafico della funzione $y = \tan x$.

Periodo della Tangente

$T = \pi$.

Funzione illimitata (es. tangente)

Funzione che assume valori che spaziano da $-\infty$ a $+\infty$.

Concetto di limite

Strumento matematico per studiare il comportamento di una funzione nelle vicinanze di un punto o all'infinito.

Intorno completo di $x_0$ ($I_{x_0}$)

Intervallo di numeri reali che approssimano $x_0$ sia per eccesso che per difetto.

Definizione formale di limite finito

$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = l$ se per ogni \epsilon > 0 esiste un intorno di $x_0$ tale che |f(x) - l| < \epsilon.

Epsilon ($\epsilon$)

Numero positivo arbitrariamente piccolo usato nella definizione di limite.

Limite per x tendente a infinito

Misura l'andamento della funzione quando la variabile indipendente cresce o decresce senza limiti.

Limite infinito per x tendente a $x_0$

Indica che la funzione cresce o decresce smisuratamente avvicinandosi a un punto finito.

Asintoto verticale

Retta di equazione $x = c$ a cui la funzione si avvicina tendendo all'infinito.

Asintoto orizzontale

Retta di equazione $y = c$ a cui la funzione tende per x che va a $\pm \infty$.

Asintoto obliquo

Retta non parallela agli assi a cui la funzione tende all'infinito.

Limite destro ($+$)

Si considera l'approssimazione al punto $x_0$ solo per valori maggiori (da destra).

Limite sinistro ($-$)

Si considera l'approssimazione al punto $x_0$ solo per valori minori (da sinistra).

Continuità in un punto $x_0$

Sussiste quando il limite della funzione per $x$ che tende a $x_0$ è uguale al valore della funzione nel punto ($f(x_0)$).

Algebra dei limiti: somma

Il limite della somma è uguale alla somma dei limiti (se finiti).

Algebra dei limiti: prodotto

Il limite del prodotto è uguale al prodotto dei limiti (se finiti).

Algebra dei limiti: quoziente

Il limite del rapporto è il rapporto dei limiti, purché il denominatore sia diverso da zero.

Forme indeterminate

Casi in cui le operazioni tra limiti non permettono di determinare immediatamente il risultato (es. $0/0$, $\infty/\infty$).

Forma indeterminata $+\infty - \infty$

Si risolve spesso mettendo in evidenza la x di grado massimo.

Forma indeterminata $\infty / \infty$

Tipica delle funzioni razionali all'infinito; si risolve con il rapporto tra i gradi massimi.

Forma indeterminata $0 / 0$

Si risolve tramite scomposizione in fattori e semplificazione o tramite limiti notevoli.