théorèmes maths matu

defintion de la dérivée d’une fonction et équation de laq droite tangente

x→a / lim x→a f(x)-f(a)/x-a / et la suite de la droite T? / un exemple? / est-ce que toutes les fonctions sont dérivables ?

lien entre dérivabilité et continuité

théorème / réciproque (faux)

lien entre dérivée et extrenums d’une fonction

soit f une fonction dérivable… / étudions f(x)-f(a)/x-a / si x<a… / réciproque (faux)

TAF

si f est une fonction continue… / d(x) = f(x)-s(x) / d vérifie les 3 hyp rolle:

corollaire 1 TAF

soit f une fonction continue… / croissante sur (a;b) si x1<x2 / appliquons TAF / réciproque (vrai)

corollaire 2 TAF

si f’(x)=0… / TAF sur (a;x)

lien entre dérivée et croissance

soit f une fonction dérivable sur I / a voir: f’(a)>=0 / si x<a / hyp f déribable / réciproque (vrai) / utilité?

lien entre dérivée et fonction constante

si f est constante… / sur interballe (x1;x2) la fonction satisfait hyp TAF / corollaire 3 TAF

dérivée du sinus

sin’(x)=cos(x)

dérivée de la tangente

tan’(x) = ((sin(x)/cos(x))’

aire sous une courbe; somme de Riemann

on considère: fonction f… / domaine associé à f / Notons A (f;a;b) l’aire de ce domaine / pour calculer aire: 1. commence partager intervalle 2. sur chacun des sous intervalles du partage / approximation aire / par passage à la limite on obtient: / def

théorpeme de la valeur moyenne

soit f(a;b) une fonction continue… / démo + Interprétation

théorème fondamental de l’intégration part. 1

soit IO: (a;b) la fonction définie par: IO(x) = integrale x a f(t)dt / on va faire démo pour x>x0

théorème fondamental de l’intégration part. 2

soit F: (a;b) une primitive de f / deux primitives même fonction / remplacer dans égalité x par a puis x par b

la fonction logarithme naturel

def + propriétés: la fonction f:t → 1/t / def / signe du logarithme / on obtient aloes le résultat / thm1: si x,y>0 alors: ln(x fois y) = ln(x) + ln(y) / propriétés / étude fonction

la fonction exponentielle

def + propriétés: ln: R→R bijection continue… / def: la réciproque fonction ln… / on a: / notation / thm1: pour tout x E R: exp’(x) = exp(x) / thm2: pour tout a, b E R: exp(a+b) = exp (a) fois exp(b) / propostion 3: pour tout x E R: exp(-x) = 1/exp(x) / remarque / proposition 4: pour tout r E Q: exp(r)= e^r / def

définiton d’une application linéaire, Matrice associée à la composée

def application linéaire / proposition: f est un endomorphisme du plan si et seulement si… / preuve ← 1ère condition… / preuve → on doit encore montrer que tt applications linéraires du plan… / Matrice de la composition de deux applications linéraires

Noyau et image d’une endomorphisme du plan

proposition 1: ker f / proposition 2: Im f / conséquence pour un endomorphisme du plan / quel lien entre noyau et image (3 cas)

endomorphisme du plan et déterminant

déterminant d’un endomorphisme du plan / proposition / preuve ← / preuve → / considérons vecteur… / trois cas peuvent se présenter / aire du parallélogramme

Produit scalaire de deux vecteurs (II.24)

1) déterminer x’ et y’ en fonction de x et y / 2) déduire de la question précédente que proj d est une application linéraire de R2 dans R2 donner sa matrice associée / 3) si la droite d n’est pas vectorielle a-t-on une application linéraire ? / 4) déterminer sans calculs le noyau et l’image de cette application linéraire

Symétrie oblique (II.25)

1) déterminer x’ et y’ en fonction de x et y / 2) déduire de la question précédente que proj d est une application linéraire de R2 dans R2 donner sa matrice associée / 3) la droite d étant choisie peut-on choisir n’importe quel vecteur comme direction pour cette symétrie ? / 4) si la droite d n’est pas vectorielle a-t-on une application linéraire ?