Sviluppi in serie di Taylor delle funzioni elementari

Una raccolta di sviluppi in serie di Taylor (serie di Maclaurin) per le principali funzioni elementari, con forme troncate, compatte e domini di validità.

Sviluppo di Taylor di $\sin(x)$ ($c=0$)

Troncato: $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$; Validità: $\forall x \in \mathbb{R}$

Sviluppo di Taylor di $\cos(x)$ ($c=0$)

Troncato: $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} + o(x^8)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$; Validità: $\forall x \in \mathbb{R}$

Sviluppo di Taylor di $\tan(x)$ ($c=0$)

Troncato: $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^5)$; Validità: $|x| < \frac{\pi}{2}$

Sviluppo di Taylor di $\sec(x)$ ($c=0$)

Troncato: $1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \frac{277}{8064}x^8 + o(x^8)$; Validità: $|x| < \frac{\pi}{2}$

Sviluppo di Taylor di $\arcsin(x)$ ($c=0$)

Troncato: $x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + \frac{5}{112}x^7 + \frac{35}{1152}x^9 + o(x^9)$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $\arccos(x)$ ($c=0$)

Troncato: $\frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6}x^3 - \frac{3}{40}x^5 - \frac{5}{112}x^7 - \frac{35}{1152}x^9 + o(x^9)$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $\arctan(x)$ ($c=0$)

Troncato: $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \frac{x^9}{9} + o(x^9)$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $e^x$ ($c=0$)

Troncato: $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$; Validità: $\forall x \in \mathbb{R}$

Sviluppo di Taylor di $\ln(1+x)$ ($c=0$)

Troncato: $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$; Compatto: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $(1+x)^{\alpha}$ ($c=0$)

Troncato: $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + o(x^3)$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $\frac{1}{1-x}$ ($c=0$)

Troncato: $1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + o(x^4)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $\frac{1}{1+x^2}$ ($c=0$)

Troncato: $1 - x^2 + x^4 - x^6 + o(x^6)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$; Validità: $|x| < 1$

Sviluppo di Taylor di $\sinh(x)$ ($c=0$)

Troncato: $x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Sviluppo di Taylor di $\cosh(x)$ ($c=0$)

Troncato: $1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + o(x^6)$; Compatto: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$