8 KVADRATNA IN JORDANOVA FORMA, MINIMALNI POLINOM

zapiši trditev o verigi podprostorov

zapiši izrek o direktni vsoti korenskih podprostorov

zapiši izrek o Jordanovi kanonični formi

zveza med minimalnim in karakterističnim polinomom

m_A deli p_A (ker imata enake ničle)

zapiši posledico, ki govori o diagonalizaciji in minimalnemu polinomu

zapiši trditev o potenci Jordanove kletke

zapiši trditev o enoličnosti matrike kvadratne forme

definiraj glavne osi kvadratne forme

kvadratna forma

je preslikava Q_^A: IRⁿ → IR, x → <Ax, x>, kvadratno formo zapišemo tudi v matrični obliki: na diagonali so kvadratni členi, okoli pa so mešani členi deljeni z dva

če velja: Qa=Qb → A = B

kongruentni matriki

naj bosta A, B € IR^n*n simetrični, Q obrnljiva, če velja A = Q* B * Q^T sta A in B kongruentni

To pomeni: Matriki A in B sta ista geometrijska oblika (npr. elipsa), le da jo gledamo v koordinatnem sistemu, ki je zasukan, raztegnjen ali stisnjen

signatura

signatura je trojica števil (p, q, r)

p: št. pozitivnih lastnih vrednosti

Q: št. negativnih lastnih vrednosti

r: št. ničelnih lastnih vrednosti

krivulje 2. reda

množica točk (x,y) v ravnini, ki zadoščajo enačbi:

ax² + by² + 2cxy + px+ qy + r = 0; kjer so črke realne konstante in vsaj ena od abc različna od 0

točke, premice, krožnice, elipse, hiperbole, parabole

Kako določimo nove kordinate krivulje s pomočjo matrike in kvadratne forme?

ploskve 2. reda

množica točk (x,y,z) v prostoru, ki zadoščajo enačbi:

ax² + by² + cz² + 2dxy + 2exz + fyz + px + qy + rz + v = 0; črke so realne konstante in vsaj ena od a-g različna od 0

elipsoid, paraboličen valj, eliptični paraboloid, …

Sylvestrov izrek o vztrajnosti

vsaka simetrična matrika je kongruentna matriki oblike D=

Caley - Hamilton (izrek)

A € IC^n*n: p_A(A) = 0 karakteristični polinom ‘uniči’ matriko A

minimalni polinom

oblika: $\mu_A(x) = (x - \lambda_1)^{m_1} (x - \lambda_2)^{m_2} \cdots (x - \lambda_k)^{m_k}$

za minimalni polinom mora veljati:

1) m(A) = 0 polinom ‘uniči’ A

2) vodilni koecifient je ena

3) je najmanjše stopnje med vsemi neničelnimi polinomi za katere velja r(A)= 0

minimalni polinom endomorfizma definiramo kot m_Abb, kjer je b urejena baza prostora V

korenski podprostor

veriga podprostorev

velja: celoten prostor ICⁿ je direktna vsota korenskih

Jordanova kanonična forma

Je približek matriki A, ki ni diagonalizabilna: J = P^-1 A P

J ima na diagonali Jordanove kletke Ji, ki imajo na diagonali lastno vrednost nad diagonalo pa enice.

geom: pove št. kletk za neko lastno vrednost

alg: pove vsoto dimenzije vseh kletk za neko lastno vrednost

potenca v minimalnem polinomu: pove dimenzijo največje kletke za tisto lastno vrednost

Matrika P: obrnljiva matrika, vsi stolpci so linearno neodvisni, sestavljena iz verig posplošenih lastnih vektorjev = Vsaki kletki v matriki J ustreza natanko ena veriga vektorjev v matriki P.

funkcije matrik

Funkcija f(A) obstaja le, če je f definirana v vseh lastnih vrednostih lambda in če tam obstaja toliko odvodov, kot je velikost največjega Jordanovega bloka -1.

Funkcija matrike definirana preko Taylorjeve vrste.

f(A) = P * f( J(A) ) * P^-1

f( J(A) )=

singularni razcep

približek diagonalne matrike za nekvadratne matrike

U: ortagonalna, m*n

suma: ‘diagonalna’ , na diagonali singualrne vrednosti, m*n

V^T: ortagonalna, n*n

singularne vrednosti

neničelni diagonalni členi matrike suma, so koreni neničelnih lastnih vrednosti matrike A^TA

PCA

analiza glavnih komponent