Tema 5: Derivadas de funciones de una variable real

Fichas de vocabulario y conceptos fundamentales sobre derivadas de funciones de una variable real, aplicaciones a la monotonía y extremos, concavidad y cálculo de diferenciales.

Derivada de una función en un punto

Límite del cociente incremental cuando $h \to 0$, denotado por $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$, que mide cuánto cambia la función cuando se varía un poco la variable independiente.

Cociente incremental

Cociente dado por $\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$, donde $\Delta x = x - a$ es el incremento de la variable y $\Delta f(x) = f(x) - f(a)$ es el incremento de la función.

Recta tangente

Recta a la curva $y = f(x)$ en el punto $a$ que pasa por $(a, f(a))$ y tiene pendiente igual a la derivada $f'(a)$, cuya ecuación es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.

Teorema de derivabilidad y continuidad

Resultado que afirma que si una función $f$ es derivable en el punto $a$, entonces necesariamente es continua en dicho punto.

Regla de la cadena

Teorema que establece que si $y = f(u)$ es derivable de $u$ y $u = g(x)$ es derivable de $x$, entonces la composición es derivable con $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$, o equivalentemente, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$.

Criterio de la primera derivada para la monotonía

Si $f'(x_0) \ge 0$ (resp. $f'(x_0) \le 0$), $f$ es creciente (resp. decreciente) en $x_0$; si $f'(x_0) > 0$ (resp. $f'(x_0) < 0$), $f$ es estrictamente creciente (resp. estrictamente decreciente).

Condición necesaria de extremos

Teorema que indica que si una función $f$ definida en un intervalo abierto $(a, b)$ posee un extremo relativo en $x_0$ y es derivable en dicho punto, entonces $f'(x_0) = 0$.

Función convexa en un punto

Función $y = f(x)$ que en un entorno del punto $a$ verifica la desigualdad $f(a) < \frac{f(a + h) + f(a - h)}{2}$, lo que geométricamente significa que la cuerda entre dos puntos deja por debajo a $(a, f(a))$.

Función cóncava en un punto

Función $y = f(x)$ que en un entorno del punto $a$ verifica la desigualdad $f(a) > \frac{f(a + h) + f(a - h)}{2}$, lo que geométricamente significa que la cuerda entre dos puntos deja por encima a $(a, f(a))$.

Punto de inflexión

Punto $x_0 \in \text{Dom}(f)$ donde la curva cambia de concavidad (de cóncava a convexa o viceversa), y cuya recta tangente atraviesa la gráfica dejándola a un lado por debajo y al otro por encima.

Criterio de la segunda derivada para concavidad y convexidad

Teorema que indica que si $f''(x_0) > 0$, $f$ es convexa en $x_0$; si $f''(x_0) < 0$, $f$ es cóncava en $x_0$; y si $x_0$ es un punto de inflexión, entonces $f''(x_0) = 0$.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Teorema que establece que si $f'(x_0) = 0$ y $f''(x_0) < 0$, $f$ posee un máximo relativo en $x_0$; mientras que si $f'(x_0) = 0$ y $f''(x_0) > 0$, posee un mínimo relativo.

Diferencial de una función

Producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente, denotado por $df(a) = f'(a) \cdot \Delta x$ o $dy = f'(x)\,dx$, que aproxima la variación real sobre la recta tangente.

Error propagado

Diferencia dada por $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$, que representa el error transmitido al calcular el valor de la función a partir de un valor medido $x$ que contiene un error de medida $\Delta x$.

Regla del producto en forma diferencial

Expresión diferencial dada por $d(u \cdot v) = u\,dv + v\,du$, donde $u$ y $v$ son funciones derivables de $x$.

Regla del cociente en forma diferencial

Expresión diferencial dada por $d(\frac{u}{v}) = \frac{v\,du - u\,dv}{v^2}$, donde $u$ y $v$ son funciones derivables de $x$.