4- Calculs algébriques

Une famille u d’éléments de K indexée par I est

Une application u, notée aussi (Ui)i € I :

U : {I —> K et i |—> Ui = u(i)

Somme de lambda pour i € I =

Card (I) x lambda

Pour p =< q, somme de 1 pour k = p à q =

q - p + 1

Exprimer la linéarité du symbole sigma :

Soient deux familles finies (Ui) i € I et (Vi) i € I d’éléments de K indexées par le même ensemble I, et deux « scalaires » lambda, nu € K.

Alors £i€I ( L Ui + N Vi) = L £i€I Ui + N £i€I Vi

Que dire d’une somme de termes positifs ?

Soit une famille finie (Ui) i€I d’éléments de R+. Alors £i€I Ui >= 0 et il y a égalité si et seulement si tout les Ui sont nuls

Exprimer la croissance du symbole £ :

Soient deux familles finies (Ui)i€I et (Vi)i€I d’éléments de R indexées par le même ensemble I.

Alors (pour tous i€I, Ui <= Vi) ==> £i€I Ui <= £i€I Vi

Exprimer l’inégalité triangulaire pour le symbole £

Soit une famille finie (Ui)i€I d’éléments de K. Alors |£i€I Ui| <= £i€I |Ui|

Sommation par paquets. Soi

Sommation par paquets.

Soient I1,. . .,Ik des ensembles finis et disjoints et

(ui)i∈ k

une famille d’éléments de K indexée par la

j=1 Ij

réunion disjointe

k

Ij. Alors

j=1

∑

i∈ k

j=1 Ij

ui =

k

∑

j=1

∑

i∈Ij

ui.