Mathe

Stammfunktion von f(x)

Eine Stammfunktion F(x) ist die “aufgeleitete” Funktion, da bei der Ableitung Summenbereiche ohne x wegfallen, ist +c Teil der Stammfunktion.

Ableitung von e^x und 2e^x

Ableitung von e^x ist e^x und von 2e^x auch 2e^x.

Ableitung von x² und dessen Varianten 1/x und Wurzel x

Ableitung von x² ist 2x, Exponent wird zum Faktor und Exponent wird -1 gerechnet. Das gilt auch für 1/x also x^-1 dementsprechend -x^-2 oder Wurzel x also x^1/2 dementsprechend ½ 1/Wurzel x

Wenn das Skalarprodukt 0 ergibt …

sind die Vektoren orthogonal zueinenander.

pq Formel

nur anwendbar wenn es nur p und q gibt
-p/2 +- Wurzel aus (p/2)²-q

Hoch/Tiefpunkt bestimmen

1. Ableiten

2. Nullstellen der Ableitung

3. x koodinate in 2. Ableitung einsetzen und bei f’’(x) >0 handelt es sich um einen Tiefpunkt

4. prüfen ob x im definierten Bereich liegt.

5. ggf. Y Koordinate für Punkt bestimmen.

Wendepunkt

Wie Hochpunkt, 3. Ableitung negativ, links nach rechts, positiv rechts-Kurve nach links-Kurve

Integral, Was ist das? Wofür wird das genutzt? Wie wird das genutzt?

• Integral ist die Fläche unter der Kurve eines Graphen

• Das beschreibt z.B. den kumulierten Umsatz, anstelle nur den Umsatz zu einem beliebigen Zeitpunk

• 1. Integral geht von bis, dann die Funktion des Graphen und dx

• 2. Die Funktion in eckigen Klammern aufleiten.

• 3. Grenzen in die Fnktion einsetzen. Funktion mit oberer Grenze - Funktion mit unterer Grenze

Vektoren, linear abhängig/unabhängig

Vektoren sind linear abhängig wenn Sie vielfache voneinander sind, also alle Werte eines Vektors multipliziert mit einem Wert die Werte des anderen Vektors ergeben.

Matrizen mulitplikation, Vorraussetzung, neue Dimension, Berechnung

Matrix 1 muss so viele Spalten haben wie Matrix 2 Zeilen hat. Z.B: Sonst nicht definiert (3×2)*(2×4)
Die Ergebnis Matrix hat so viele Zeilen wie Matrix 1 und Spalten wie Matrix 2 (3×4)

Die Berechnung lässt sich schwer beschreiben, bei dem Bild würde 1×1+3×2 gerechnet werden um die Zahl oben links der neuen Matrix zu bestimmen.
Die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen ist relevant.

Matrix hoch T, außerdem (A*B)^T umformen?

Die Matrix wird an einer 45° Linie durch die Position 1,1 gespiegelt. Aus 2×3 wird 3×2.

B^T*A^T

Produktregel

Ableitung von f(x) * g(x) ist f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)

Quotientenregel

f(x)/g(x) = f’(x) * g(x)- g’(x) * f(x) / g(x)²

Kettenregel

f(g(x)) = f’(g(x)) * g’(x)
Innere mal äußere

Substitutiosnregel für Integrale und deren Stammfunktion

Für ein Integral von: f(g(x)) * g’(x) dx = Integral von f(u) du mit u =g(x) und du = g’(x) dx

partielle Ableitung bei Funktionen mit mehreren Variablen

Die Variable nach der nicht abgeleitet wird, wird behandelt wie eine Zahl. Und die Variable nach der Abgeleitet wird, wird normal abgeleitet.

Spielt die Reihenfolge hier eine Rolle? Was bedeutet die Schreibweise Gxy(x,y) und Gyx (x,y)

ja, das Ergebnis ist das aber immer das selbe.

Die Formel mit 2 Variabeln wird erst nach x dann nach y abgeleitet, bzw. erst nach y dann nach x.

Stationäre Stelle

Die erste Ableitung ist gleich Null, bei mehreren Variabeln, sind alle partiellen Ableitungen gleich 0.

Eine Stationäre Stelle kann dann ein Hoch oder Tiefpunkt sein, oder auch nicht.

Eine Stationäre Stelle wird bestimmt indem die Partiallen Ableitungen gleich Null gesetzt werden und dann in einem Gleichungssystem gelöst werden.

Hoch oder Tiefpunkt bei 2 Variabeln

Notwendige Bedingung: fxx(Stationären Stelle) * fyy(Stationären Stelle) - fxy(von stationärer Stelle)² > 0, dann handelt es sich um ein Optimum, sonst um einen Sattelpunkt
hinreichende Bedingung: fxx(x0,y0) < 0 = Maximum
fxx(x0,y0) > 0 = Minimum

Hesse Matrix

In der Hesse Matrix werden alle 2. partiellen Ableitungen aufgeführt.

Natürliche Zahlen

1, 2, 3, 4

Ganze Zahlen

-1, 0, 1, 2

Rationale Zahlen

2/3, - 1,5, 3,75838534, 2

irrationale Zahlen

unendliche aber nicht periodische Zahlen

z.B. Wurzel 2, Pi, e

Reelle Zahlen

Alle Zahlen

Gewinngrenze

Break Even Point

Kosten = Gewinn

Geometrische Folge

Die Folgenglieder ehöhen sich immer um einen festen Faktor.

Ein Folgenglied an bestimmt man: an=a1*q^n-1

q = Faktor der Folge

Summenformel der geometrischen Reihe

Summe q^k=q*((q^n)-1)/(q-1)