Chapitre 2 : Ensembles et applications

Fiches de vocabulaire et définitions fondamentales du cours de mathématiques sur les ensembles et les applications.

Inclusion ($F \subset E$)

Relation entre deux ensembles signifiant que tout élément de $F$ appartient à $E$, formalisée par la phrase quantifiée : $\forall x \in F,\, x \in E$.

Égalité d'ensembles ($E = F$)

Propriété selon laquelle deux ensembles $E$ et $F$ ont exactement les mêmes éléments, caractérisée par : $(E \subset F \land F \subset E)$.

Double inclusion

Principale méthode pour démontrer que deux ensembles $E$ et $F$ sont égaux, en établissant successivement que $E \subset F$ et que $F \subset E$.

Réunion ($E \cup F$)

Ensemble des éléments qui sont dans $E$ ou dans $F$, caractérisé par : $x \in E \cup F \iff (x \in E \lor x \in F)$.

Intersection ($E \cap F$)

Ensemble des éléments qui sont dans $E$ et dans $F$, caractérisé par : $x \in E \cap F \iff (x \in E \land x \in F)$.

Différence ensembliste ($E \setminus F$)

Ensemble des éléments qui sont dans $E$ mais pas dans $F$, noté $E \setminus F = \{x \in E : x \notin F\}$ et lu « $E$ privé de $F$ ».

Complémentaire de $A$ dans $E$ ($A^c$)

Ensemble noté $E \setminus A$ (ou $A^c$ lorsque $E$ est fixé sans confusion possible), constitué des éléments de $E$ n'appartenant pas à la partie $A$.

Produit cartésien de deux ensembles ($A \times B$)

Ensemble des couples de la forme $(a, b)$ où $a \in A$ et $b \in B$, défini par $A \times B = \{(a, b) : a \in A \land b \in B\}$.

$n$-uplet (ou $n$-liste)

Élément noté $(x_1, \dots, x_n)$ construit à partir de $n$ éléments, vérifiant : $(x_1, \dots, x_n) = (x'_1, \dots, x'_n) \iff \forall k \in \{1, \dots, n\},\, x_k = x'_k$.

Ensemble des parties d'un ensemble ($\mathcal{P}(E)$)

Ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $E$, vérifiant l'équivalence : $F \in \mathcal{P}(E) \iff F \subset E$.

Recouvrement de $E$

Famille de parties $(A_i)_{i \in I}$ de $E$ dont la réunion est égale à $E$, c'est-à-dire : $\bigcup_{i \in I} A_i = E$.

Recouvrement disjoint de $E$

Recouvrement de $E$ constitué d'ensembles deux à deux disjoints, c'est-à-dire vérifiant : $\forall (i, j) \in I^2,\, i \neq j \implies A_i \cap A_j = \emptyset$.

Partition de $E$

Recouvrement disjoint de l'ensemble $E$ constitué exclusivement d'ensembles non vides.

Application de $E$ dans $F$

Sous-ensemble $f \subset E \times F$ tel que pour tout $x \in E$, il existe un unique $y \in F$ vérifiant $(x, y) \in f$, ce qui s'écrit : $\forall x \in E,\, \exists! y \in F,\, (x, y) \in f$.

Graphe d'une application

Sous-ensemble du produit cartésien associé à une application $f : E \rightarrow F$, noté $\Gamma = \{(x, f(x)) : x \in E\}$.

Famille d'éléments de $E$ indexée par $I$

Application de l'ensemble $I$ dans $E$, usuellement notée $(x_i)_{i \in I}$ au lieu de la notation fonctionnelle.

Fonction indicatrice ($\mathbb{1}_A$)

Fonction d'une partie $A \subset E$ à valeurs dans $\{0, 1\}$, définie par $\mathbb{1}_A(x) = 1$ si $x \in A$ et $\mathbb{1}_A(x) = 0$ si $x \notin A$.

Restriction de $f$ à $A$ ($f|_A$)

Application de $A$ dans $F$ (où $A \subset E$) définie à partir de $f : E \rightarrow F$ par : $\forall x \in A,\, f|_A(x) = f(x)$.

Co-restriction de $f$ à $B$ ($f|_B$)

Application de $E$ dans $B$ (où $B \subset F$ vérifie $f(E) \subset B$) définie à partir de $f : E \rightarrow F$ par : $\forall x \in E,\, f|_B(x) = f(x)$.

Prolongement d'une application $f$

Toute application $g$ définie sur un ensemble $E'$ contenant $E$ et vérifiant : $\forall x \in E,\, g(x) = f(x)$.

Image directe de $A$ par $f$ ($f(A)$)

Partie de l'ensemble d'arrivée $F$ définie pour $A \subset E$ par : $f(A) = \{f(x) : x \in A\}$.

Image réciproque de $B$ par $f$ ($f^{-1}(B)$)

Partie de l'ensemble de départ $E$ définie pour $B \subset F$ par : $f^{-1}(B) = \{x \in E : f(x) \in B\}$.

Partie stable par $f$

Partie $A$ de l'ensemble $E$ vérifiant la condition d'inclusion : $f(A) \subset A$.

Composée d'applications ($g \circ f$)

Application de $E$ dans $G$ obtenue à partir de $f : E \rightarrow F$ et $g : F \rightarrow G$, définie par : $\forall x \in E,\, (g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Application injective (ou injection)

Application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent, i.e. : $\forall (x_1, x_2) \in E^2,\, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.

Application surjective (ou surjection)

Application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent, i.e. : $\forall y \in F,\, \exists x \in E,\, y = f(x)$.

Application bijective (ou bijection)

Application à la fois injective et surjective, c'est-à-dire telle que tout élément de l'ensemble d'arrivée admet un unique antécédent : $\forall y \in F,\, \exists! x \in E,\, y = f(x)$.

Permutation de $E$

Application bijective définie de $E$ sur lui-même ; l'ensemble de ces bijections est noté $\mathcal{S}(E)$.

Application réciproque ($f^{-1}$)

Pour une application bijective $f : E \rightarrow F$, application notée $f^{-1} : F \rightarrow E$ qui, à tout $y \in F$, associe l'unique antécédent $x \in E$ tel que $y = f(x)$.

Application involutive (ou involution)

Application $f : E \rightarrow E$ vérifiant $f \circ f = \text{Id}_E$, ce qui implique qu'elle est bijective et égale à sa propre réciproque.