матан коллок 1 опреды

Что такое аксиома полноты?

Выполнятся ли аксиома полноты в ℚ? А в ℝ?

В ℚ не выполняется, а в ℝ выполняется.

Что такое бесконечная десятичная дробь и зачем это вообще?

Проще говоря мы можем представить единицу как 0,9(9) и как 1,0(0)
(если мы возьмем 1/3 = 0,3(3) и умножим на 3 то получим 0,9(9) = 1)

поэтому чтобы у каждого числа была только одна запись существует это правило

Что такое последовательность?

Что значит выражение последовательность сходится к числу? И как это записывают формулой?

N = номер N
n = номер последовательности

Что такое предел последовательности?

Что значит “число 𝑎 не является пределом последовательности”?

Если хотя бы один элемент Xm при m > N не попадет в интервал (x - E, x + E), то х не будет являться пределом последовательности

Что такое бесконечно малая последовательность?

Что такое верхняя (нижняя) грань ограниченного множества в ℝ?

Пусть 𝐴⊆ℝ, что такое sup(𝐴), inf (𝐴)?

Что такое принцип полноты Вейерштрасса?

Теорема 1.4.4 (Принцип полноты Вейерштрасса).
Если 𝐴⊆ℝ – непустое и ограниченное сверху (снизу) множество, то sup(𝐴) (соотв. inf (𝐴)) существует.

Что такое ограниченная последовательность?

Что значит “последовательность не убывает (не возрастает)”?

Что такое фундаментальная последовательность?

Что такое последовательность Коши?

Множество ℝ есть множество последовательностей Коши из ℚ. Объясните.

Что такое подпоследовательность?

Что такое частичный предел последовательности?

Что такое 𝜀-окрестность точки, что такое открытое множество на прямой? Что такое замкнутое множество на прямой?

Определение 2.1.1. Окрестностью точки 𝑎 ∈ ℝ радиуса 𝜀 > 0(=𝜀-окрестностью) называется множество:

𝖡𝜀(𝑎) ∶= {𝑥∈ℝ ∶ |𝑥 − 𝑎| < 𝜀} = ( 𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀).

Открытым множеством в ℝ называется подмножество 𝒰 ⊆ ℝ, обладающее следующим свойством: для любой точки 𝑎 ∈ 𝒰 существует такое 𝜀 > 0, что 𝖡𝜀(𝑎) ⊆ 𝒰.

Замкнутое множество в ℝ есть дополнение открытого множества.

Что такое точка прикосновения множества? Что такое замыкание множества?

Расскажите про индуцированную топологию на подмножествах. Открыто ли множество (0.5,1] в ℝ1? А в (0,1] оно открыто? А будет ли множество (0,0.5] замкнутым в ℝ? А будет ли оно замкнутым в (0,1]? Ответы обоснуйте.

Есть ли такие множества которые одновременно и открыты и замкнуты? А есть ли такие которые и не открыты и не замкнуты?