4. Aprossimazione di zeri di funzioni reai

definizinoe di radice

e di radice di molteplicità m

il radice di una funzione viene definito come l’insieme di valore di x tali che f(x) = 0

un radice di funzione f di molteplicità m è uno, tale che:

come funzionano in generale i metodi numerici iterativi approssimanti

a che cosa servono

i metodi servono per apporissimare una soluzione a con una prestabilita precisione creando una successione di termini xi che converge alla radice cercata

come faccio a rendere un problema ben posto per un metodo numerico iterativo approssimante

come calcolo il numero di condizionamento del problema da approssimare numericamente

scelgo un intervallo con solamente un radice

K = 1/|f ’(a)|

in un procedimento iterativo ci sono 3 cose da tenere conto

1. scelta del valore di innesco

   1. convergenza locale / globale

2. velocità di convergenza

3. Criterio di arresto

che cosa è un problema con convergenza locale e con convergenza globale

• convergenza locale: la convergenza della successione {xi} i>0 al radice a dipende dalla vicinanza di x0 ad a
  —> scelta di valore di innesco critica

• procedimento a convergenza globale:
  la convergenza della successione non dipende dalla vicinanza di x0 ad a

come si puo descrivere la velocità di convergenza di un metodo iterativo

Hint: ei = xi - a

Se esistono, ci sono due numeri che descrivono quanto veloce una seri xi converge ad un radice:
dove:
p>1: ordine di convergenza
C>0: costante asintotica di convergenza
ei := xi −α.

l’ordine di convergenza fornisce una indicazione su quanto veloce viene raggiunta una soluzione, per i grandi vale la relazione:
|e_i+1| circa = C|e_i|^p

che cosa è lordine di convergenza

ordine di convergenza è un numero p>1 definito come:
dove ei = xi −α.

che cosa dice la seguente formula:

la formula descrive come l’errore assoluto ei := xi −α varia ad i abbastanza grandi. dipende dall’ordine di ocnvergenza e dalla costante asintotica di convergenza

come si chiama una successione che ha:

p = 1
1 < p < 2
p = 2

una successione che ha ordine di convergenza come segue si chiama:

p = 1 → convergenza lineare
1 < p < 2 → convergenza superlineare
p = 2 → convergenza quadratica

calcolare l’ordine di ocnvergenza e la costante asintotica di convergenza per il seguente problema:

calcolare l’ordine di convergenza e la costante di asintotica di ocnvergenza per la seguente successione:

nel caso di una successione con convergenza lineare, che cosa mi garantisce la convergenza ad α

come cambia per una successione con convergezna quadratica?

DA FINIRE PAG. 2 / 13