La fonction dérivée

Flashcards de vocabulaire mathématique sur la fonction dérivée, ses dérivées usuelles, ses opérations et son application à l'étude des variations et extremums.

Étymologie du mot « dérivé »

Le mot provient du latin « derivare », qui signifiait « détourner un cours d’eau ».

Joseph Louis Lagrange

Mathématicien franco-italien ($1736$–$1813$) qui a introduit le mot « dérivé » pour signifier que cette nouvelle fonction dérive (au sens de "provenir") d'une autre fonction.

Nombre dérivé en un point $a$

Limite quand $h$ tend vers $0$ du taux de variation de $f$ en $a$, notée $f'(a) = \text{lim}_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Fonction dérivable sur un intervalle $I$

Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.

Fonction dérivée ($f'$)

Fonction qui à tout réel $x$ d'un intervalle $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en $x$. Elle se note $f'$.

Dérivée d'une fonction constante ($f(x) = a$)

Pour $f(x) = a$ avec $a \text{ dans } \frac{\text{real}}{\text{real}}$, la dérivée est $f'(x) = 0$, définie sur $\frac{\text{real}}{\text{real}}$.

Dérivée d'une fonction affine ($f(x) = ax$)

Pour $f(x) = ax$ avec $a \text{ dans } \frac{\text{real}}{\text{real}}$, la dérivée est $f'(x) = a$, définie sur $\frac{\text{real}}{\text{real}}$.

Dérivée de la fonction carré ($f(x) = x^2$)

Pour $f(x) = x^2$, la dérivée est $f'(x) = 2x$, définie sur $\frac{\text{real}}{\text{real}}$.

Dérivée d'une fonction puissance ($f(x) = x^n$)

Pour $f(x) = x^n$ avec n \text{ entier } \begin{cases} n \text{ geq } 1 \text{ end } \text{cases}, la dérivée est $f'(x) = n x^{n-1}$, définie sur $\frac{\text{real}}{\text{real}}$.

Dérivée de la fonction inverse ($f(x) = \frac{1}{x}$)

Pour $f(x) = \frac{1}{x}$, la dérivée est $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$, définie sur \frac{\text{real}}{\text{real}} \text{ backslash } \begin{cases} 0 \text{ end } \text{cases}.

Dérivée d'une puissance négative ($f(x) = \frac{1}{x^n}$)

Pour $f(x) = \frac{1}{x^n}$ avec n \text{ entier } \begin{cases} n \text{ geq } 1 \text{ end } \text{cases}, la dérivée est $f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}}$, définie sur \frac{\text{real}}{\text{real}} \text{ backslash } \begin{cases} 0 \text{ end } \text{cases}.

Dérivée de la fonction racine carrée ($f(x) = \text{sqrt}(x)$)

Pour $f(x) = \text{sqrt}(x)$ (définie sur $[0; +\text{infty}[$), la dérivée est $f'(x) = \frac{1}{2\text{sqrt}(x)}$, définie sur $]0; +\text{infty}[$.

Dérivée d'une somme de fonctions ($u + v$)

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, la fonction $u + v$ est dérivable sur $I$ et $(u + v)' = u' + v'$.

Dérivée du produit par une constante ($k u$)

Si $u$ est dérivable sur $I$ et $k$ est une constante, la fonction $k u$ est dérivable sur $I$ et $(k u)' = k u'$.

Dérivée d'un produit de fonctions ($u v$)

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, la fonction $u v$ est dérivable sur $I$ et $(u v)' = u' v + u v'$.

Dérivée de l'inverse d'une fonction ($\frac{1}{u}$)

Si $u$ est dérivable sur $I$ et ne s'annule pas sur $I$, la fonction $\frac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ et $\text{left}(\frac{1}{u}\text{right})' = -\frac{u'}{u^2}$.

Dérivée d'un quotient de fonctions ($\frac{u}{v}$)

Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $v$ ne s'annule pas sur $I$, la fonction $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et $\text{left}(\frac{u}{v}\text{right})' = \frac{u' v - u v'}{v^2}$.

Théorème des variations d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$. Si $f'(x) \text{ leq } 0$, alors $f$ est décroissante sur $I$. Si $f'(x) \text{ geq } 0$, alors $f$ est croissante sur $I$.

Théorème de l'extremum d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert $I$. Si la dérivée $f'$ de $f$ s'annule et change de signe en un réel $c$ de $I$, alors $f$ admet un extremum en $x = c$.