ExPhy 2 Gesamt

Konfigurationsraum

Ein affiner Raum $A$, der den physikalischen dreidimensionalen Raum beschreibt, in dem zwei Punkte durch einen Vektor in Beziehung stehen.

Tangentenvektor

Ein Vektor, der in einem Punkt $p$ an eine Kurve $C$ gehört und die Richtungsableitung einer Funktion entlang dieser Kurve angibt.

Vektorfeld

Eine Abbildung, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.

Gradient

Ein Differentialoperator ($\nabla$), der auf eine skalare Funktion wirkt und ein Vektorfeld erzeugt, das die Richtung des stärksten Anstiegs angibt: $\vec{\nabla} f$.

Divergenz

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie gibt an, ob ein Feld Quellen oder Senken an einem Punkt besitzt: $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}$.

Rotation

Das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie beschreibt die Wirbelstärke des Feldes: $\vec{\nabla} \times \vec{A}$.

Laplace-Operator

Ein Differentialoperator zweiter Ordnung ($\Delta$), definiert als das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst: $\Delta = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2$.

Distribution

Ein kontinuierliches lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen, oft als verallgemeinerte Funktion bezeichnet (z.B. Delta-Distribution $\delta(x)$).

Fourier-Transformation

Ein mathematisches Verfahren, das Funktionen in ihre Frequenzanteile zerlegt; wandelt Differentialoperatoren in algebraische Faktoren um: $\tilde{f}(k) = \int f(x) e^{-ikx} dx$.

Holomorph

Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die in einem Gebiet stetig differenzierbar (analytisch) ist.

Residuensatz

Ein Satz zur Berechnung von Wegintegralen komplexer Funktionen: $\oint f(z) dz = 2\pi i \sum Res(f, z_k)$, wobei $Res$ die Residuen an Polstellen sind.

Lorentz-Kraft

Die Kraft auf eine bewegte Punktladung: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.

Permittivität des Vakuums ($\epsilon_0$)

Die elektrische Feldkonstante, die die Durchlässigkeit des Vakuums für elektrische Felder beschreibt.

Magnetische Flussdichte ($\vec{B}$)

Vektorfeld, das die magnetische Kraftwirkung auf bewegte Ladungen beschreibt; gemessen in Tesla ($T$).

Induktionsgesetz

Teil der Maxwell-Gleichungen: $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.

Eichinvarianz

Die Invarianz der Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ unter Transformationen der Potentiale: $\vec{A} \to \vec{A} + \vec{\nabla} Λ$ und $\Phi \to \Phi - \frac{\partial Λ}{\partial t}$.

Multipolentwicklung

Reihenentwicklung des Potentials nach Potenzen von $1/r$: $\Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} + \dots)$, mit Monopol-, Dipol- und Quadrupoltermen.

Poynting-Vektor

Beschreibt die Energieflussdichte: $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$.

Retardiertes Potential

Lösungen der Wellengleichung unter Berücksichtigung der Lichtlaufzeit: $Φ(\vec{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}', t - |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|} d^3r'$.

Sagnac-Effekt

Ein relativistisches Phänomen in rotierenden Systemen, bei dem entgegengesetzt umlaufende Lichtstrahlen unterschiedliche Laufzeiten benötigen.

Inertialsystem

Ein Bezugssystem, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig und gleichförmig bewegen oder ruhen ($\vec{a} = 0$).

Zeitdilatation

Verlangsamung der Zeit in bewegten Systemen: $\Delta t = γ Δ τ$ mit dem Lorentz-Faktor $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Längenkontraktion

Verkürzung bewegter Objekte in Bewegungsrichtung: $L = L<em>0 \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{L</em>0}{\gamma}$.

Kramers-Kronig-Relationen

Zusammenhänge zwischen Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion $ε(ω)$, basierend auf Kausalität.

Maxwellsche Feldstärketensor ($F^{\mu\nu}$)

Antisymmetrischer Tensor, der $E$- und $B$-Felder in Lorentz-kovarianter Form vereint, wobei $F^{0i} = -E^i/c$ und $F^{ij} = -ε^{ijk}B^k$.

Maxwell-Gleichungen (Vakuum)

Das System aus 4 Differentialgleichungen: 1) $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon<em>0}$, 2) $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$, 3) $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$, 4) $\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu</em>0 \vec{j} + \mu<em>0 \epsilon</em>0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$.

Kontinuitätsgleichung

Ausdruck der Ladungserhaltung im Differentialform: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0$.

Elektromagnetische Wellengleichung

Partielle Differentialgleichung für Felder im Vakuum: $\left( \Delta - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E} = 0$ (analog für $\vec{B}$, $\Phi$ und $\vec{A}$).

Beziehung: Potentiale zu Feldern

Definition der Felder durch Potentiale: $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ und $\vec{E} = -\vec{\nabla} \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$.

Lorentz-Transformation (x-Boost)

Transformation zwischen Inertialsystemen: $x' = \gamma(x - vt)$, $t' = \gamma(t - \frac{vx}{c^2})$, $y' = y$, $z' = z$.

Energiedichte ($u$)

Die im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie pro Volumen: $u = \frac{1}{2} \left( \epsilon<em>0 E^2 + \frac{1}{\mu</em>0} B^2 \right)$.

Stationäre Maxwell-Gleichungen (Elektrostatik)

Gleichungen für zeitunabhängige Felder ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$): $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ und $\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$.

Konfigurationsraum

Ein affiner Raum $A$, der den physikalischen dreidimensionalen Raum beschreibt, in dem zwei Punkte durch einen Vektor in Beziehung stehen.

Tangentenvektor

Ein Vektor, der in einem Punkt $p$ an eine Kurve $C$ gehört und die Richtungsableitung einer Funktion entlang dieser Kurve angibt.

Vektorfeld

Eine Abbildung, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.

Gradient

Ein Differentialoperator ($\nabla$), der auf eine skalare Funktion wirkt und ein Vektorfeld erzeugt, das die Richtung des stärksten Anstiegs angibt: $\vec{\nabla} f$.

Divergenz

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie gibt an, ob ein Feld Quellen oder Senken an einem Punkt besitzt: $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}$.

Rotation

Das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie beschreibt die Wirbelstärke des Feldes: $\vec{\nabla} \times \vec{A}$.

Laplace-Operator

Ein Differentialoperator zweiter Ordnung ($\Delta$), definiert als das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst: $\Delta = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2$.

Distribution

Ein kontinuierliches lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen, oft als verallgemeinerte Funktion bezeichnet (z.B. Delta-Distribution $\delta(x)$).

Fourier-Transformation

Ein mathematisches Verfahren, das Funktionen in ihre Frequenzanteile zerlegt; wandelt Differentialoperatoren in algebraische Faktoren um: $\tilde{f}(k) = \int f(x) e^{-ikx} dx$.

Holomorph

Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die in einem Gebiet stetig differenzierbar (analytisch) ist.

Residuensatz

Ein Satz zur Berechnung von Wegintegralen komplexer Funktionen: $\oint f(z) dz = 2\pi i \sum Res(f, z_k)$, wobei $Res$ die Residuen an Polstellen sind.

Lorentz-Kraft

Die Kraft auf eine bewegte Punktladung: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.

Permittivität des Vakuums ($\epsilon_0$)

Die elektrische Feldkonstante, die die Durchlässigkeit des Vakuums für elektrische Felder beschreibt.

Magnetische Flussdichte ($\vec{B}$)

Vektorfeld, das die magnetische Kraftwirkung auf bewegte Ladungen beschreibt; gemessen in Tesla ($T$).

Induktionsgesetz

Teil der Maxwell-Gleichungen: $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.

Eichinvarianz

Die Invarianz der Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ unter Transformationen der Potentiale: $\vec{A} \to \vec{A} + \vec{\nabla} Λ$ und $\Phi \to \Phi - \frac{\partial Λ}{\partial t}$.

Multipolentwicklung

Reihenentwicklung des Potentials nach Potenzen von $1/r$: $\Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} + \dots)$, mit Monopol-, Dipol- und Quadrupoltermen.

Poynting-Vektor

Beschreibt die Energieflussdichte: $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$.

Retardiertes Potential

Lösungen der Wellengleichung unter Berücksichtigung der Lichtlaufzeit: $Φ(\vec{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}', t - |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|} d^3r'$.

Sagnac-Effekt

Ein relativistisches Phänomen in rotierenden Systemen, bei dem entgegengesetzt umlaufende Lichtstrahlen unterschiedliche Laufzeiten benötigen.

Inertialsystem

Ein Bezugssystem, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig und gleichförmig bewegen oder ruhen ($\vec{a} = 0$).

Zeitdilatation

Verlangsamung der Zeit in bewegten Systemen: $\Delta t = γ Δ τ$ mit dem Lorentz-Faktor $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Längenkontraktion

Verkürzung bewegter Objekte in Bewegungsrichtung: $L = L<em>0 \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{L</em>0}{\gamma}$.

Kramers-Kronig-Relationen

Zusammenhänge zwischen Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion $ε(ω)$, basierend auf Kausalität.

Maxwellsche Feldstärketensor ($F^{\mu\nu}$)

Antisymmetrischer Tensor, der $E$- und $B$-Felder in Lorentz-kovarianter Form vereint, wobei $F^{0i} = -E^i/c$ und $F^{ij} = -ε^{ijk}B^k$.

Maxwell-Gleichungen (Vakuum)

Das System aus 4 Differentialgleichungen: 1) $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon<em>0}$, 2) $\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$, 3) $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$, 4) $\vec{\nabla} \times \vec{B} = \mu</em>0 \vec{j} + \mu<em>0 \epsilon</em>0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$.

Kontinuitätsgleichung

Ausdruck der Ladungserhaltung im Differentialform: $\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0$.

Elektromagnetische Wellengleichung

Partielle Differentialgleichung für Felder im Vakuum: $\left( \Delta - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) \vec{E} = 0$ (analog für $\vec{B}$, $\Phi$ und $\vec{A}$).

Beziehung: Potentiale zu Feldern

Definition der Felder durch Potentiale: $\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$ und $\vec{E} = -\vec{\nabla} \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}$.

Lorentz-Transformation (x-Boost)

Transformation zwischen Inertialsystemen: $x' = \gamma(x - vt)$, $t' = \gamma(t - \frac{vx}{c^2})$, $y' = y$, $z' = z$.

Energiedichte ($u$)

Die im elektromagnetischen Feld gespeicherte Energie pro Volumen: $u = \frac{1}{2} \left( \epsilon<em>0 E^2 + \frac{1}{\mu</em>0} B^2 \right)$.

Stationäre Maxwell-Gleichungen (Elektrostatik)

Gleichungen für zeitunabhängige Felder ($\frac{\partial}{\partial t} = 0$): $\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ und $\vec{\nabla} \times \vec{E} = 0$.

Poisson-Gleichung

Die inhomogene Differentialgleichung für das elektrische Potential: $\Delta \Phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$.

Lorenz-Eichung

Eichbedingung zur Entkopplung der Potentialgleichungen: $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial \Phi}{\partial t} = 0$.

Coulomb-Eichung

Eichbedingung, die besagt, dass das Vektorpotential divergenzfrei ist: $\vec{\nabla} \cdot \vec{A} = 0$.

Gaußscher Integralsatz

Verbindung zwischen Volumenintegral der Divergenz und Oberflächenfluss: $\int<em>V (\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) d^3r = \oint</em>{\partial V} \vec{A} \cdot d\vec{a}$.

Stokesscher Integralsatz

Verbindung zwischen Flächenintegral der Rotation und Linienintegral entlang des Randes: $\int<em>S (\vec{\nabla} \times \vec{A}) \cdot d\vec{a} = \oint</em>{\partial S} \vec{A} \cdot d\vec{l}$.

Vierervektor der Stromdichte ($j^\mu$)

Vereint Ladungsdichte $\rho$ und Stromdichte $\vec{j}$: $j^\mu = (c\rho, \vec{j})$.

Inhomogene Maxwell-Gleichung (Kovarant)

Die relativistische Form der Maxwell-Gleichungen mit Quellen: $\partial<em>\mu F^{\mu\nu} = \mu</em>0 j^\nu$.

Biot-Savart-Gesetz

Berechnet die magnetische Flussdichte $\vec{B}$ einer stationären Stromverteilung: $\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\vec{j}(\vec{r}') \times (\vec{r} - \vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|^3} d^3r'$.

Cauchy-Riemann-Gleichungen

Bedingungen für die komplexe Differenzierbarkeit von $f(z) = u + iv$: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ und $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$.

Relativistische Energie-Impuls-Beziehung

Zusammenhang zwischen Energie $E$, Impuls $p$ und Ruhemasse $m$: $E^2 = (cp)^2 + (mc^2)^2$.

Vektoridentität (Rotation der Rotation)

Wichtige Identität zur Herleitung der Wellengleichung: $\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{A}) = \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{A}) - \Delta \vec{A}$.

Konfigurationsraum

Ein affiner Raum $A$, der den physikalischen dreidimensionalen Raum beschreibt, in dem zwei Punkte durch einen Vektor in Beziehung stehen.

Tangentenvektor

Ein Vektor, der in einem Punkt $p$ an eine Kurve $C$ gehört und die Richtungsableitung einer Funktion entlang dieser Kurve angibt.

Vektorfeld

Eine Abbildung, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet.

Gradient

Ein Differentialoperator ($\nabla$), der auf eine skalare Funktion wirkt und ein Vektorfeld erzeugt, das die Richtung des stärksten Anstiegs angibt: $\vec{\nabla} f$.

Divergenz

Das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie gibt an, ob ein Feld Quellen oder Senken an einem Punkt besitzt: $\vec{\nabla} \cdot \vec{A}$.

Rotation

Das Vektorprodukt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld; sie beschreibt die Wirbelstärke des Feldes: $\vec{\nabla} \times \vec{A}$.

Laplace-Operator

Ein Differentialoperator zweiter Ordnung ($\Delta$), definiert als das Skalarprodukt des Nabla-Operators mit sich selbst: $\Delta = \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} = \vec{\nabla}^2$.

Distribution

Ein kontinuierliches lineares Funktional auf dem Raum der Testfunktionen, oft als verallgemeinerte Funktion bezeichnet (z.B. Delta-Distribution $\delta(x)$).

Fourier-Transformation

Ein mathematisches Verfahren, das Funktionen in ihre Frequenzanteile zerlegt; wandelt Differentialoperatoren in algebraische Faktoren um: $\tilde{f}(k) = \int f(x) e^{-ikx} dx$.

Holomorph

Bezeichnung für eine komplexe Funktion, die in einem Gebiet stetig differenzierbar (analytisch) ist.

Residuensatz

Ein Satz zur Berechnung von Wegintegralen komplexer Funktionen: $\oint f(z) dz = 2\pi i \sum Res(f, z_k)$, wobei $Res$ die Residuen an Polstellen sind.

Lorentz-Kraft

Die Kraft auf eine bewegte Punktladung: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.

Permittivität des Vakuums ($\epsilon_0$)

Die elektrische Feldkonstante, die die Durchlässigkeit des Vakuums für elektrische Felder beschreibt.

Magnetische Flussdichte ($\vec{B}$)

Vektorfeld, das die magnetische Kraftwirkung auf bewegte Ladungen beschreibt; gemessen in Tesla ($T$).

Induktionsgesetz

Teil der Maxwell-Gleichungen: $\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$. Ein sich änderndes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld.

Eichinvarianz

Die Invarianz der Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$ unter Transformationen der Potentiale: $\vec{A} \to \vec{A} + \vec{\nabla} Λ$ und $\Phi \to \Phi - \frac{\partial Λ}{\partial t}$.

Multipolentwicklung

Reihenentwicklung des Potentials nach Potenzen von $1/r$: $\Phi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} (\frac{q}{r} + \frac{\vec{p} \cdot \hat{r}}{r^2} + \dots)$, mit Monopol-, Dipol- und Quadrupoltermen.

Poynting-Vektor

Beschreibt die Energieflussdichte: $\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \times \vec{B})$.

Retardiertes Potential

Lösungen der Wellengleichung unter Berücksichtigung der Lichtlaufzeit: $Φ(\vec{r}, t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\vec{r}', t - |\vec{r}-\vec{r}'|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}'|} d^3r'$.

Sagnac-Effekt

Ein relativistisches Phänomen in rotierenden Systemen, bei dem entgegengesetzt umlaufende Lichtstrahlen unterschiedliche Laufzeiten benötigen.

Inertialsystem

Ein Bezugssystem, in dem sich kräftefreie Körper geradlinig und gleichförmig bewegen oder ruhen ($\vec{a} = 0$).

Zeitdilatation

Verlangsamung der Zeit in bewegten Systemen: $\Delta t = γ Δ τ$ mit dem Lorentz-Faktor $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$.

Längenkontraktion

Verkürzung bewegter Objekte in Bewegungsrichtung: $L = L<em>0 \sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{L</em>0}{\gamma}$.

Kramers-Kronig-Relationen

Zusammenhänge zwischen Real- und Imaginärteil der dielektrischen Funktion $ε(ω)$, basierend auf Kausalität.

Maxwellsche Feldstärketensor ($F^{\mu\nu}$)

Antisymmetrischer Tensor, der $E$- und $B$-Felder in Lorentz-kovarianter Form vereint, wobei $F^{0i} = -E^i/c$ und $F^{ij} = -ε^{ijk}B^k$.