MATH 119 LOGIQUE

Pour que A, il faut B. » Quelle est la traduction

A → B

B est une condition nécessaire pour A. La condition nécessaire va à droite de la flèche : A → B.

« Si x > 2, alors x² > 4. Or x² > 4. Donc x > 2. » L'argument est-il correct ?

Incorrect, contre-exemple : x = −3

Forme : A → B, B, donc A : incorrect. Avec x = −3 : x² = 9 > 4 (prémisses vraies), mais −3 > 2 est faux (conclusion fausse).

Quel énoncé est équivalent à « Si a = b, alors N > 0 » ?

Si N ≤ 0, alors a ≠ b

C'est la contraposée : ¬B → ¬A. La première est la réciproque, la deuxième l'inverse : pas équivalentes.

Quelle est la négation de « Tous les étudiants ont réussi » ?

Au moins un étudiant n'a pas réussi

¬(∀x : P) ≡ ∃x : ¬P. « Pour tout » devient « il existe au moins un », et on nie la fin.

Quelle formule traduit « Le produit de réels n'est pas toujours positif » ?

∃a, b ∈ ℝ : a·b < 0

« Pas toujours » se traduit par ∃, et on nie la propriété : ≥ 0 devient < 0. Exemple : a = −1, b = 2.

Lequel est un contre-exemple à « ∀x ∈ ℝ : x² ≥ x » ?

x = 1/2

(1/2)² = 1/4, et 1/4 ≥ 1/2 est faux. Pour 0 et 1, on a l'égalité, donc ≥ est vrai.

Quelle formule est la négation de A → B ?

A ∧ ¬B

A → B n'est faux que dans le cas V → F, donc A vrai et B faux : A ∧ ¬B. C'est pourquoi « tu triches et je n'abandonne pas » est la phrase à part dans la 1.19.