Filtre de Kim

Quel problème traite le filtre de Kim ?

Un State-Space Model avec à la fois un état continu latent et un régime discret caché.

Quelle est la transition d’état générale du Kim filter ?

Xₜ = M₍Sₜ₎·Xₜ₋₁ + C₍Sₜ₎ + vₜ

Quelle est l’équation de mesure générale du Kim filter ?

Yₜ = O₍Sₜ₎·Xₜ + D₍Sₜ₎ + wₜ

Que combine le filtre de Kim ?

Kalman pour l’état continu + Hamilton pour les probabilités de régime + collapsing.

Que fait Kim pour chaque couple (i, j) de régimes ?

Il exécute une prédiction et une mise à jour de Kalman conditionnelles au passage de i vers j.

Quelle est la prédiction de l’état pour le couple (i, j) ?

xⁱʲₜ|ₜ₋₁ = Mⱼ·xⁱₜ₋₁|ₜ₋₁ + Cⱼ

Quelle est la covariance prédite pour cette branche ?

Pⁱʲₜ|ₜ₋₁ = Mⱼ·Pⁱₜ₋₁|ₜ₋₁·Mⱼᵀ + Qⱼ

Quelle est la prédiction de l’observation dans une branche ?

yⁱʲₜ|ₜ₋₁ = Oⱼ·xⁱʲₜ|ₜ₋₁ + Dⱼ

Quelle est sa variance prédictive ?

Vⁱʲₜ|ₜ₋₁ = Oⱼ·Pⁱʲₜ|ₜ₋₁·Oⱼᵀ + Hⱼ

Quelle est l’innovation de la branche (i, j) ?

ηⁱʲₜ = yₜ − yⁱʲₜ|ₜ₋₁

Quel est le gain de Kalman de cette branche ?

Kⁱʲₜ = Pⁱʲₜ|ₜ₋₁·Oⱼᵀ·(Vⁱʲₜ|ₜ₋₁)⁻¹

Quelle est la mise à jour de l’état de la branche ?

xⁱʲₜ|ₜ = xⁱʲₜ|ₜ₋₁ + Kⁱʲₜ·ηⁱʲₜ

Pourquoi faut-il faire un collapsing ?

Sans réduction du nombre de branches, le nombre de trajectoires possibles exploserait avec le temps.

Combien de branches obtient-on avant collapsing à chaque date ?

J² branches correspondant aux couples ancien/nouveau régime.

Combien de distributions garde-t-on après collapsing ?

J distributions, une par régime courant.

Quel poids utilise-t-on pour collapse la branche (i, j) vers le régime j ?

ωᵢⱼ,ₜ = P(Sₜ₋₁ = i | Sₜ = j, Fₜ)

Comment calcule-t-on la moyenne collapsée pour le régime j ?

xʲₜ|ₜ = Σᵢ ωᵢⱼ,ₜ·xⁱʲₜ|ₜ

Pourquoi la covariance collapsée ne peut-elle pas être seulement la moyenne des covariances des branches ?

Il faut aussi tenir compte de la dispersion entre les moyennes des différentes branches.

Quelles sont les deux composantes de la covariance collapsée ?

1. Variance dans chaque branche. 2. Dispersion entre les moyennes des branches.

À quelle identité statistique correspond cette construction ?

À la formule de variance totale d’un mélange.

Quelle est la limite du collapsing ?

Il introduit une approximation en résumant plusieurs distributions conditionnelles par une seule moyenne et covariance pour chaque régime.

Hamilton vs Kim ?

Hamilton filtre essentiellement des probabilités de régimes avec dynamique AR ; Kim ajoute un état continu latent filtré par Kalman.