Geometria e Algebra Lineare: Fondamenti, Strutture Algebriche e Sistemi Lineari

Flashcard di vocabolario sui concetti fondamentali di algebra lineare e geometria, inclusi insiemi, relazioni, strutture algebriche, spazi vettoriali, matrici, sistemi lineari e numeri complessi.

Insieme

Collezione di oggetti che condividono una proprietà comune.

Cardinalità

Il numero di elementi contenuti all'interno di un insieme; può essere un valore finito $n$ oppure infinita $\infty$.

Insieme vuoto

Insieme privo di elementi, denotato convenzionalmente con il simbolo $\emptyset$ oppure $\varnothing$.

Insieme delle parti

L'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di un dato insieme $A$, denotato con $\mathcal{P}(A)$.

Relazione (binaria)

Un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $A \times A$, in cui due elementi $a, b \in A$ si dicono in relazione ($a \sim b$ oppure $a \mathcal{R} b$) se soddisfano una specifica proprietà.

Relazione di equivalenza

Una relazione binaria che soddisfa contemporaneamente le proprietà riflessiva ($a \sim a$), simmetrica ($a \sim b \iff b \sim a$) e transitiva ($a \sim b \land b \sim c \implies a \sim c$).

Classe di equivalenza

L'insieme di tutti gli elementi di un insieme $A$ che risultano in relazione di equivalenza con un dato elemento $a$, definito formalmente come $[a] = \{a' \in A : a' \sim a\}$.

Insieme quoziente

L'insieme costituito da tutte le classi di equivalenza generate da una relazione di equivalenza $\sim$ su un insieme $A$, indicato con $A/\sim$.

Congruenza modulo $n$

Relazione di equivalenza definita su $\mathbb{Z}$ per cui due interi $a, b$ soddisfano $a \equiv_n b$ se e solo se le divisioni $a : n$ e $b : n$ producono lo stesso resto.

Funzione (o applicazione o mappa)

Relazione tra due insiemi $A$ e $B$ che associa a ogni elemento del dominio $A$ uno e un solo elemento del codominio $B$, denotata con $f : A \longrightarrow B$.

Immagine di una funzione

Il sottoinsieme del codominio $B$ costituito da tutti gli elementi associati ad almeno un elemento del dominio, definito come $\text{Im}(f) = \{b \in B : b = f(a) \text{ per qualche } a \in A\}$.

Funzione iniettiva

Una funzione $f : A \longrightarrow B$ in cui a elementi distinti del dominio corrispondono sempre elementi distinti del codominio: se $a_1 \neq a_2$, allora $f(a_1) \neq f(a_2)$.

Funzione suriettiva

Una funzione $f : A \longrightarrow B$ per la quale ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio, ovvero $\text{Im}(f) = B$.

Funzione biettiva

Una funzione $f : A \longrightarrow B$ che risulta contemporaneamente sia iniettiva sia suriettiva.

Composizione di funzioni

Operazione che combina due funzioni $f : A \longrightarrow B$ e $g : B \longrightarrow C$ generando la funzione $g \circ f : A \longrightarrow C$, definita da $(g \circ f)(a) = g(f(a))$.

Funzione invertibile

Una funzione $f : A \longrightarrow B$ per la quale esiste una funzione $g : B \longrightarrow A$ tale che $g \circ f = \text{id}_A$ e $f \circ g = \text{id}_B$; è invertibile se e solo se è biettiva.

Insiemi equipotenti

Due insiemi $A$ e $B$ che possiedono la stessa cardinalità, condizione verificata se e solo se esiste tra loro una funzione biettiva $f : A \longrightarrow B$.

Ipotesi del Continuo

Asserzione secondo cui non esiste alcun insieme avente cardinalità strettamente compresa tra quella dei numeri naturali $\aleph_0$ e quella dei numeri reali $2^{\aleph_0}$.

Gruppo

Struttura algebrica $(G, \cdot)$ formata da un insieme $G$ e un'operazione binaria interna associativa, dotata di un unico elemento neutro $e$ e di un elemento inverso $a^{-1}$ per ciascun elemento.

Gruppo abeliano

Un gruppo $(G, \cdot)$ in cui l'operazione binaria gode anche della proprietà commutativa, ovvero $a \cdot b = b \cdot a$ per ogni $a, b \in G$.

Anello

Struttura algebrica $(A, +, \cdot)$ in cui $(A, +)$ è un gruppo abeliano, $(A, \cdot)$ è un semigruppo e il prodotto è distributivo a destra e a sinistra rispetto all'addizione.

Campo

Struttura algebrica $(\mathbb{K}, +, \cdot)$ in cui $(\mathbb{K}, +)$ e $(\mathbb{K} \setminus \{0\}, \cdot)$ sono entrambi gruppi abeliani e vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.

Matrice diagonale

Una matrice quadrata i cui elementi al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli, ovvero $a_{ij} = 0$ per ogni $i \neq j$.

Matrice triangolare superiore

Una matrice quadrata in cui tutti gli elementi situati sotto la diagonale principale sono nulli, ovvero $a_{ij} = 0$ per ogni $i > j$.

Matrice trasposta

La matrice $A^T \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ ottenuta scambiando le righe con le colonne di una matrice $A \in M_{m,n}(\mathbb{K})$, per cui $(a_{ij})^T = a_{ji}$.

Matrice inversa

Per una matrice quadrata $A \in M_n(\mathbb{K})$, è la matrice $A^{-1} \in M_n(\mathbb{K})$ che soddisfa la relazione $A A^{-1} = A^{-1} A = I_n$.

Spazio vettoriale

Insieme $V$ definito su un campo $\mathbb{K}$ dotato di un'operazione di addizione interna (gruppo abeliano) e di moltiplicazione per uno scalare conforme agli assiomi di distributività, associatività e normalizzazione.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme $W \subseteq V$ chiuso rispetto alla somma ($w_1 + w_2 \in W$ per ogni $w_1, w_2 \in W$) e chiuso rispetto al prodotto per scalare ($\lambda w \in W$ per ogni $w \in W, \lambda \in \mathbb{K}$).

Copertura lineare (Span)

L'insieme di tutte le combinazioni lineari formate a partire da un insieme di vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$, indicato con $\text{Span}(v_1, \dots, v_k)$.

Vettori linearmente indipendenti

Insieme di vettori $\{v_1, \dots, v_k\}$ per cui l'uguaglianza $a_1 v_1 + \dots + a_k v_k = O$ implica necessariamente che tutti gli scalari siano nulli: $a_1 = \dots = a_k = 0$.

Base di uno spazio vettoriale

Un insieme ordinato di vettori $\mathcal{B} = \{v_1, \dots, v_n\}$ che risulta contemporaneamente un sistema di generatori dello spazio $V$ e linearmente indipendente.

Dimensione

Il numero di vettori che compongono una qualsiasi base di uno spazio vettoriale finitamente generato $V$, denotato con $\dim_{\mathbb{K}} V$.

Formula di Grassmann

Teorema dimensionale che per due sottospazi vettoriali $U, W$ stabilisce l'uguaglianza $\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim U + \dim W$.

Somma diretta

Somma tra due sottospazi vettoriali $U$ e $W$ la cui intersezione è costituita unicamente dal vettore nullo ($U \cap W = \{O\}$, denotata con $U \oplus W$), che garantisce una scomposizione univoca per ogni vettore.

Formula di De Moivre

Formula che calcola la potenza $n$-esima di un numero complesso in forma trigonometrica: $z^n = \rho^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Formula di Eulero

Identità che collega l'esponenziale complesso alle funzioni trigonometriche reali: $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$.

Applicazione lineare

Una funzione $T : V \longrightarrow W$ tra spazi vettoriali che conserva l'addizione, $T(u + v) = T(u) + T(v)$, e la moltiplicazione per scalare, $T(\lambda v) = \lambda T(v)$.

Nucleo (Kernel)

Il sottospazio vettoriale del dominio costituito da tutti i vettori che vengono mappati nel vettore nullo del codominio: $\text{Ker}(T) = \{v \in V \mid T(v) = O_W\}$.

Teorema della dimensione (nullità e rango)

Teorema per cui, data un'applicazione lineare $T : V \longrightarrow W$ con $V$ di dimensione finita, vale la relazione $\dim V = \dim \text{Ker}(T) + \dim \text{Im}(T)$.

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema che stabilisce che un sistema lineare $Ax = b$ ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti $A$ coincide con quello della matrice aumentata $C = (A|b)$.