Analisi Matematica: Insiemi Numerici, Proprietà di R e Funzioni

Flashcards di vocabolario e definizioni fondamentali del corso di Analisi Matematica: insiemi numerici, ordinamento, topologia di R, estremi superiori e inferiori, proprietà di completezza e nozioni base sulle funzioni.

Insieme dei numeri naturali ($\mathbb{N}$)

L'insieme formato dai numeri ${0, 1, 2, \dots}$.

Insieme dei numeri interi ($\mathbb{Z}$)

L'insieme costituito dai numeri naturali uniti ai numeri naturali opposti: $\mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup (-\mathbb{N})$.

Insieme dei numeri razionali ($\mathbb{Q}$)

L'insieme definito da $\left\{ \frac{p}{q} : p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \right\}$. Ogni numero intero è un numero razionale in quanto $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$.

Crisi pitagorica

Problema sorto dal calcolo della diagonale di un quadrato di lato $1$, che porta all'equazione $x^2 = 2$. Poiché non esiste alcun $x \in \mathbb{Q}$ che la soddisfa, dimostra l'esistenza di numeri irrazionali non rappresentabili come frazione di interi.

Numerabilità di $\mathbb{Q}$

Proprietà per cui gli elementi di $\mathbb{Q}$ possono essere contati, poiché è possibile associare in maniera biunivoca un elemento di $\mathbb{N}$ a un elemento di $\mathbb{Z}$ e di $\mathbb{Q}$.

Teorema di completezza di $\mathbb{R}$ (formulazione per insiemi separati)

Per ogni coppia di sottoinsiemi non vuoti $A, B \subseteq \mathbb{R}$ tali che $a \le b$ per ogni $a \in A$ e $b \in B$, esiste almeno un elemento separatore $c \in \mathbb{R}$ tale che $a \le c \le b$ per ogni $a \in A$ e $b \in B$.

Intervallo in $\mathbb{R}$

Un sottoinsieme $I \subseteq \mathbb{R}$ tale che, per ogni coppia $a, b \in I$, se $a \le x \le b$ allora anche $x \in I$. Qualsiasi punto compreso tra due valori dell'intervallo appartiene necessariamente a esso.

Intervallo chiuso

Dati $a, b \in \mathbb{R}$ con $a \le b$, è l'insieme $[a, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b\}$, in cui entrambi gli estremi $a$ e $b$ sono compresi.

Intervallo aperto

Dati $a, b \in \mathbb{R}$ con $a < b$, è l'insieme $]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}$, in cui gli estremi $a$ e $b$ sono esclusi.

Retta reale estesa ($\overline{\mathbb{R}}$)

L'insieme $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}$. I simboli $-\infty$ e $+\infty$ non sono numeri reali, ma oggetti che verificano $-\infty < x < +\infty$ per ogni $x \in \mathbb{R}$. Non va mai scritto come intervallo chiuso $[-\infty, +\infty]$.

Modulo (o valore assoluto)

Quantità definita per ogni $x \in \mathbb{R}$ da: $|x| = x$ se $x \ge 0$, oppure $|x| = -x$ se $x < 0$. Rappresenta la distanza di $x$ dall'origine $0$, e per due punti $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$, $|x_1 - x_2|$ rappresenta la distanza tra essi.

Disuguaglianza triangolare

Proprietà del valore assoluto secondo cui, per ogni $x, y \in \mathbb{R}$, vale $|x + y| \le |x| + |y|$. Si generalizza alla somma di più termini come $\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \le \sum_{i=1}^n |x_i|$.

Maggiorante e insieme superiormente limitato

Un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{R}$ è superiormente limitato se esiste $\beta \in \mathbb{R}$ tale che $a \le \beta$ per ogni $a \in A$. Tale valore $\beta$ viene chiamato maggiorante di $A$.

Minorante e insieme inferiormente limitato

Un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{R}$ è inferiormente limitato se esiste $\alpha \in \mathbb{R}$ tale che $\alpha \le a$ per ogni $a \in A$. Tale valore $\alpha$ viene chiamato minorante di $A$.

Insieme limitato

Un sottoinsieme $A \subseteq \mathbb{R}$ tale che esistono $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ per cui $A \subseteq [\alpha, \beta]$, ovvero esiste un valore $M > 0$ tale che $-M \le a \le M$ per ogni $a \in A$.

Massimo e minimo di un insieme ($\max A$ e $\min A$)

Un elemento $m \in A$ è il minimo di $A$ ($m = \min A$) se $m \le a$ per ogni $a \in A$. Un maggiorante di $A$ appartenente ad $A$ è detto massimo ($\max A$). Se esistono, sono unici.

Estremo superiore ($\sup A$)

Dato un sottoinsieme non vuoto $A \subseteq \mathbb{R}$ superiormente limitato, è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. È caratterizzato da: 1) $x \le S$ per ogni $x \in A$; 2) per ogni $\varepsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a > S - \varepsilon$.

Estremo inferiore ($\inf A$)

Dato un sottoinsieme non vuoto $A \subseteq \mathbb{R}$ inferiormente limitato, è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$. È caratterizzato da: 1) $I \le a$ per ogni $a \in A$; 2) per ogni $\varepsilon > 0$, esiste $a \in A$ tale che $a < I + \varepsilon$.

Teorema di completezza di $\mathbb{R}$ (formulazione per estremi)

Ogni sottoinsieme non vuoto $A \subseteq \mathbb{R}$ superiormente (o inferiormente) limitato ammette un estremo superiore (o estremo inferiore) appartenente a $\mathbb{R}$, ed esso è unico. Tale teorema non è valido in $\mathbb{Q}$.

Proprietà di Archimede

Dati $a, b \in \mathbb{R}$ con $a > 0$ e $b > 0$, esiste sempre un numero naturale $n \in \mathbb{N}$ tale che $n \cdot a > b$. Di conseguenza, se $0 \le x \le \varepsilon$ per ogni $\varepsilon > 0$, allora $x = 0$.

Densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$

Dati due numeri reali $a, b \in \mathbb{R}$ con $a < b$, esiste sempre almeno un numero razionale $r \in \mathbb{Q}$ compreso strettamente tra loro, ovvero $a < r < b$.

Definizione di funzione

Relazione tra insiemi che associa a ogni elemento del dominio un'unica e sola immagine $y = f(x)$. Se a un valore di $x$ corrispondessero due o più valori distinti di $y$, la relazione non sarebbe una funzione.

Funzione tangente

Funzione trigonometrica definita dal rapporto $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, geometricamente rappresentante il coefficiente angolare della retta passante per l'origine e il punto associato sulla circonferenza goniometrica.

Funzione reciproca

Funzione definita da $f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = \frac{1}{x}$, che prende un numero in ingresso e ne calcola il reciproco; il suo grafico geometrico è un'iperbole equilatera.