Espaces vectoriel normés - Analyse 2

Définition d’une norme

Application de E dans R+ (vérifier qu’elle est bien à valeurs dans R+), qui vérifie la positive homogénéité (N(ax)=aN(x)), la séparation (N(x)=0 implique x=0) et l’inégalité triangulaire (N(x+y)<=N(x)+N(y)

Comment on montre le plus souvent qu’une application est à valeurs dans R+ ?

Continue sur un segment, théorème des bornes atteintes

Inégalité triangulaire

| ||x|| - ||y|| | <= ||x-y|| ou ||x+y|| <= ||x|| + ||y||

Normes classiques sur un espace vectoriel de dimension finie

Normes classiques sur C([a,b],K)

Normes classiques sur les espaces de suites

Normes classiques pour les matrices

Normes classiques pour les polynômes en dimension finie

Normes classiques pour les polynômes en dimension infinie

Quels axiomes vérifie une distance entre deux parties ?

d(x,y) = d(y,x), d(x,y=0) implique x=y, d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)

Def boule ouverte, boule fermée, sphère

B(a,r)={x dans E tq ||x-a||<r}, B barre (a,r)={x dans E tq ||x-a||<=r}, S(a,r)={x dans E tq ||x-a||=r}

Que signifie qu’une partie A de E est bornée pour la norme ||.|| ?

Il existe R>0 tq pour tout x dans A, ||x||<=R —> une partie A de E est bornée ssi elle est incluse dans une boule fermée

Que signifie qu’une fonction f est bornée sur A ?

f(A) est une partie bornée de E donc il existe R>0 tq pour tout x dans A, ||f(x)||<=R

Comment définit-on la distance entre deux parties ? Donner un exemple de distance non atteinte

d(A,B)=inf||a-b|| ; distance entre {0} et {1/n tq n est dans N etoile} —> inf||0-1/n|| = inf |-1/n| = inf |1/n| = 0 mais distance non atteinte car rien pour lequel ca fait 0

Partie convexe

Pour tout (x,y) dans A², le segment [x,y]={lambda x + (1-lambda)y tq lambda est dans [0,1] est inclus dans A

Norme produit

Soit E le produit des Ej pour j allant de 1 à p, chaque espace vectoriel possédant sa propre norme ||.||j. On décompose x sur ce produit d’ev, en un p-uplet de xj avec chaque xj appartenant à Ej. Alors l’application qui a (x1,…,xp) associe ||x||=max||xj||j pour j allant de 1 à p

Produit de boules ouvertes

B(a,r) qui est le produit des B(aj,r) pour j de 1 à p est une boule ouverte

Suite bornée

(un) est bornée si u(N) est une partie bornée, ie il existe R>0 tq pour tout n dans N, ||un||<=R

Comment montrer que deux normes sont équivalentes ?

Montrer que le quotient des deux normes n’est pas borné, par exemple avec des applications polynomiales (t—>t^n) OU dans un espace de dimension finie, toutes les normes sont éqv

Comment montrer qu’une suite diverge ?

Extraire deux suites qui admettent des limites différentes

Théorème de Bolzano-Weierstrass

De toute suite bornée de réels, on peut extraire une sous suite convergente

A quelle condition sur les sous suites d’indices pairs et impairs (un) converge vers l

Si (u2n+1) et (u2n) convergent vers l alors (un) converge vers l

Déf partie U ouverte/partie F fermée dans E

Pour tout x dans U, il existe r>0 tq B(x,r) incluse dans U / Une partie est fermée si son complémentaire CeF est un ouvert de E

Propriétés sur les ouverts

Ensemble vide et E sont des ouverts, intersection finie d’ouverts est un ouvert, réunion qcque d’ouverts est un ouvert, produit d’ouverts est un ouvert

Définition et propriétés de l’intérieur de A (A rond)

x dans A est intérieur à A si il existe r>0 tq B(x,r) incluse dans A. L’intérieur de A est inclus dans A et l’intérieur de l’intérieur de A est égal à A. L’intérieur de A est le plus grand ouvert de E inclus dans A. Une partie A de E est ouverte dans E ssi tous ses points sont intérieurs.

Propriétés sur les fermés

Ensemble vide et E sont des fermés, intersection qcque de fermés est un fermé, réunion finie de fermés est un fermé, produit de fermés est un fermé

Définition et propriétés de l’adhérence de A (A barre)

x dans E est adhérent à A si toute boule ouverte de centre x rencontre A. A est inclus dans son adhérence, et l’adhérence de l’adhérence de A est égale à A, l’adhérence de A est le plus petit fermé de E contenant A. Une partie A de E est fermée dans E ssi l’adhérence de A est égale à A.