chap 5 Intégrales Généralisées et Intégrabilité

Fiches de vocabulaire sur le cours des intégrales généralisées, les fonctions continues par morceaux, les critères de convergence, et les espaces de fonctions intégrables.

Fonction continue par morceaux ($CM$)

Fonction définie sur un intervalle non trivial $I$ dont l'ensemble des points de discontinuité est une partie discrète $D$ de $\mathbb{R}$, et qui possède des limites latérales finies en tout point de $D$.

Intégrale généralisée convergente (sur $[a, b[$)

Intégrale d'une fonction continue par morceaux telle que la fonction

$$F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$$

possède une limite finie lorsque $x \to b$.

Intégrale semi-convergente

Intégrale généralisée qui converge sans être absolument convergente

Fonction intégrable ($L^1(I, \mathbb{K})$)

Fonction $f \in CM(I, \mathbb{K})$ pour laquelle l'intégrale généralisée $\int_I |f(t)|\,dt$ est convergente.

Intégrales de Riemann en $+\infty$

Intégrales de la forme

$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t^\omega}$ ,

qui convergent si et seulement si $\omega > 1$.

Intégrales de Riemann en $0$

Intégrales de la forme

$\int_0^1 \frac{dt}{t^\omega}$ ,

qui convergent si et seulement si $\omega < 1$.

Intégrales de référence exponentielles

Intégrales de la forme

$$\int_0^{+\infty} e^{-\omega t}\,dt$$

avec $\omega \in \mathbb{C}$, qui convergent absolument si et seulement si $\text{Re}(\omega) > 0$ , avec pour valeur $\frac{1}{\omega}$.

Fausse singularité

Extrémité d'intervalle en laquelle une fonction n'est pas initialement définie mais admet une limite finie, ce qui permet de la prolonger par continuité sur le segment fermé.

Changement de variable légitime

Application $\varphi : J \to I$ de classe $C^1$, strictement monotone, et réalisant une bijection de l'intervalle $J$ sur $I$.

Intégrales de Bertrand en $+\infty$

Intégrales généralisées de la forme

$\int_2^{+\infty} \frac{dt}{t^\omega (\ln(t))^\varepsilon}$ ,

qui convergent si et seulement si $\omega > 1$ ou ($\omega = 1$ et $\varepsilon > 1$).

Théorème de comparaison série-intégrale

Pour toute fonction $f$ continue, positive et décroissante sur $[m, +\infty[$, l'intégrale généralisée

$$\int_m^{+\infty} f(x)\,dx$$

converge si et seulement si la série

$$\sum_{n \ge m} f(n)$$

converge.

Règle du $x^\omega$ en $+\infty$

Critère affirmant que si $x^\omega f(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ pour un réel $\omega > 1$, alors $f$ est intégrable sur $[c, +\infty[$.