Analisi Matematica 1: Fondamenti, Successioni e Serie Numeriche

Flashcard didattiche strutturate a domande e risposte per il ripasso approfondito del corso di Analisi Matematica 1. Il set copre logica elementare, proprietà dei campi numerici e completezza di R, numeri complessi e teorema fondamentale dell'algebra, teoria delle funzioni reali, limiti e teoremi fondamentali delle successioni, scale di infinito, e infine serie numeriche, criteri di convergenza e stime dell'errore.

Qual è la definizione di proposizione nella logica elementare e in cosa differisce da un predicato?

Una proposizione è una formula ben formata che non contiene variabili libere, a cui è possibile attribuire in modo univoco il valore di verità (vero o falso). Un predicato è invece una formula ben formata che contiene variabili libere, la cui verità dipende dai valori attribuiti a tali variabili.

In cosa differiscono il principio di non contraddizione e il principio del terzo escluso?

Il principio di non contraddizione stabilisce che una proposizione non può essere contemporaneamente vera e falsa. Il principio del terzo escluso stabilisce che una proposizione è vera se e solo se la sua negazione è falsa, non ammettendo una terza possibilità.

Come si distinguono la condizione necessaria e la condizione sufficiente nella proposizione composta $p \implies q$?

Nell'implicazione $p \implies q$, la proposizione $p$ rappresenta la condizione sufficiente per il verificarsi di $q$, mentre la proposizione $q$ rappresenta la condizione necessaria per il verificarsi di $p$. Affermare $p \implies q$ è logicamente equivalente a $\neg q \implies \neg p$.

Come si articola una dimostrazione basata sul principio di induzione per una proprietà $p(n)$ con $n \ge n_0$?

La dimostrazione si articola in due passaggi: prima si verifica che la proprietà base $p(n_0)$ sia vera; successivamente si assume come ipotesi induttiva la verità di $p(n)$ per un generico $n \ge n_0$ e si dimostra che da essa discende la verità della tesi $p(n+1)$.

Qual è l'enunciato della disuguaglianza di Bernoulli?

Per ogni numero naturale $n \in \mathbb{N}$ e per ogni numero reale $x \in \mathbb{R}$ con $x > -1$, è verificata la disuguaglianza $(1+x)^n \ge 1 + n x$.

Come si dimostra per assurdo che $\sqrt{2}$ non è un numero razionale?

Si suppone che $\sqrt{2} = \frac{n}{m}$ sia una frazione irriducibile con $m \neq 0$. Elevando al quadrato si ottiene $2m^2 = n^2$, da cui $n^2$ e $n$ sono pari ($n = 2k$). Sostituendo, $2m^2 = 4k^2$, ossia $m^2 = 2k^2$, implicando che anche $m$ sia pari. Questo genera un assurdo poiché la frazione non risulterebbe semplificata ai minimi termini.

Quali sono le tre proprietà assiomatiche che definiscono una relazione d'ordine $\le$ su un insieme non vuoto?

Una relazione d'ordine soddisfa: la riflessività ($a \le a$ per ogni elemento), l'antisimmetria (se $a \le b$ e $b \le a$, allora $a = b$) e la transitività (se $a \le b$ e $b \le c$, allora $a \le c$). Se soddisfa inoltre la dicotomia ($a \le b \lor b \le a$ per ogni coppia), l'ordine è totale.

Come sono definiti l'estremo superiore ($\sup A$) e l'estremo inferiore ($\inf A$) di un sottoinsieme in un insieme ordinato?

L'estremo superiore di $A$ è il minimo dell'insieme dei maggioranti di $A$. L'estremo inferiore di $A$ è il massimo dell'insieme dei minoranti di $A$.

Come recita l'assioma di completezza per il campo ordinato dei numeri reali $\mathbb{R}$?

Ogni sottoinsieme non vuoto di $\mathbb{R}$ superiormente limitato ammette estremo superiore reale; pertanto $\mathbb{R}$ è un campo ordinato completo.

Quali convenzioni si adottano per l'estremo superiore e inferiore di sottoinsiemi non limitati nella retta reale estesa $\bar{\mathbb{R}}$?

Dato un insieme $A \subseteq \mathbb{R}$, se $A$ non è superiormente limitato si definisce $\sup A = +\infty$, mentre se $A$ non è inferiormente limitato si definisce $\inf A = -\infty$.

Qual è la definizione di intervallo $I \subseteq \mathbb{R}$ basata sulla proprietà di connessione?

Un sottoinsieme $I \subseteq \mathbb{R}$ è un intervallo se e solo se per ogni coppia di elementi $x, y \in I$ con $x < y$, ogni numero reale $z$ tale che $x < z < y$ appartiene anch'esso a $I$.

Come vengono definite le operazioni di somma e prodotto nel campo dei numeri complessi $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$?

Per ogni coppia di elementi $(a,b), (c,d) \in \mathbb{R}^2$, la somma è definita da $(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)$ con elemento neutro $(0,0)$, e il prodotto è definito da $(a,b)(c,d) = (ac - bd, ad + bc)$ con elemento neutro $(1,0)$. L'unità immaginaria è $i = (0,1)$, tale che $i^2 = (-1,0)$.

Quali disuguaglianze legano il modulo di un numero complesso $|z|$ con la sua parte reale e la sua parte immaginaria?

Dato un numero complesso $z = a + ib$, valgono le relazioni $|\text{Re}(z)| \le |z|$, $|\text{Im}(z)| \le |z|$ e la stima triangolare $|z| \le |\text{Re}(z)| + |\text{Im}(z)|$.

Qual è il significato geometrico della moltiplicazione tra due numeri complessi in forma trigonometrica?

Moltiplicare due numeri complessi $z = \rho (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ e $w = r (\cos(\varphi) + i\sin(\varphi))$ comporta una dilatazione o contrazione del modulo pari al prodotto $\rho r$ e una rotazione nel piano pari alla somma degli argomenti $\theta + \varphi$.

Qual è la formula di De Moivre per la potenza $n$-esima di un numero complesso in forma trigonometrica?

Dato $z = \rho (\cos(\theta) + i\sin(\theta))$ e un intero positivo $n \in \mathbb{N}^+$, la potenza $n$-esima è data da $z^n = \rho^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$.

Come si determinano le radici $n$-esime di un numero complesso $w = r e^{i\varphi}$ e quale figura formano nel piano di Gauss?

Le radici sono date da $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\theta_k}$ con $\theta_k = \frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ per $k = 0, 1, \dots, n-1$. Geometricamente rappresentano i vertici di un poligono regolare di $n$ lati inscritto in una circonferenza di centro l'origine e raggio $\sqrt[n]{r}$.

Cosa afferma il teorema fondamentale dell'algebra per un'equazione polinomiale di grado $n \ge 1$?

Ogni equazione polinomiale della forma $a_n z^n + \dots + a_1 z + a_0 = 0$ con $a_n \neq 0$ e coefficienti in $\mathbb{C}$ possiede precisamente $n$ radici nel campo complesso $\mathbb{C}$, a patto che ciascuna radice sia contata con la propria molteplicità.

Cosa si può dedurre sulle radici di un polinomio a coefficienti reali se ammette una radice complessa non reale $w$?

Se un polinomio a coefficienti reali possiede una radice complessa non reale $w$, anche il suo complesso coniugato $\bar{w}$ è radice del polinomio con la medesima molteplicità. Di conseguenza, ogni polinomio a coefficienti reali di grado dispari possiede almeno una radice reale.

Quando una funzione $f: A \to B$ si dice invertibile e quale relazione sussiste tra l'iniettività e l'invertibilità?

Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca (contemporaneamente iniettiva e suriettiva). Se una funzione $f: A \to B$ è solo iniettiva, è possibile renderla biunivoca e quindi invertibile restringendo il codominio all'immagine, considerando cioè $f: A \to f(A)$.

Sotto quale condizione sugli insiemi è definibile la funzione composta $h = g \circ f$?

Date $f: A \to B$ e $g: A' \to B'$, la funzione composta $h = g \circ f$ è definita se l'immagine della funzione interna è contenuta nel dominio della funzione esterna, ossia $I_f = f(A) \subseteq A'$.

Come sono definite la funzione parte intera $[x]$ e la funzione mantissa $\text{mant}(x)$ per un numero reale $x$?

La parte intera $[x]$ è il più grande numero intero minore o uguale a $x$. La funzione mantissa è definita dalla differenza $\text{mant}(x) = x - [x]$, ed è una funzione limitata e periodica di periodo $T = 1$.

Come si dimostra che ogni funzione reale definita su un intervallo simmetrico $(-a, a)$ può essere scritta come somma di una funzione pari e una dispari?

Ogni funzione $f(x)$ può essere riscritta tramite l'identità $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$, in cui il primo addendo è una funzione pari e il secondo addendo è una funzione dispari.

Qual è la definizione formale di successione convergente a un limite finito $l \in \mathbb{R}$?

Una successione reale $\{a_n\}$ converge a $l$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un indice naturale $N \in \mathbb{N}$ tale che $|a_n - l| < \varepsilon$ per ogni $n \ge N$.

Come si dimostra il teorema di unicità del limite per una successione convergente?

Ipotizzando per assurdo l'esistenza di due limiti distinti $l \neq l'$, per la disuguaglianza triangolare vale $|l - l'| \le |l - a_n| + |a_n - l'| < 2\varepsilon$ definitivamente. Scegliendo $\varepsilon = \frac{|l - l'|}{2}$, si perviene alla contraddizione $|l - l'| < |l - l'|$, dimostrando che $l = l'$.

Qual è il legame tra la convergenza di una successione reale e la sua limitatezza?

Ogni successione convergente è necessariamente limitata, poiché definitivamente i suoi termini sono racchiusi nell'intervallo $(l-\varepsilon, l+\varepsilon)$ e i termini precedenti sono in numero finito. Il viceversa non sussiste, come dimostra la successione limitata $a_n = (-1)^n$, che è irregolare.

Qual è il limite del prodotto di una successione limitata per una successione infinitesima?

Il prodotto tra una successione limitata e una successione infinitesima è sempre infinitesimo, ossia converge a zero: se $|a_n| \le K$ e $|b_n| < \frac{\varepsilon}{K}$, allora $|a_n b_n| \le K |b_n| < \varepsilon$.

Cosa afferma il teorema della permanenza del segno per le successioni convergenti?

Se una successione $\{a_n\}$ converge a $l > 0$, allora i suoi termini sono definitivamente strettamente positivi ($a_n > 0$). Inoltre, se una successione soddisfa definitivamente $a_n \ge 0$ e ammette limite $l$, allora necessariamente $l \ge 0$.

Qual è l'enunciato del teorema dei due carabinieri per le successioni?

Siano date tre successioni tali che $a_n \le c_n \le b_n$ definitivamente. Se sia $\{a_n\}$ sia $\{b_n\}$ convergono allo stesso limite reale $l$, allora anche la successione intermedia $\{c_n\}$ converge a $l$.

Cosa stabilisce il teorema sulle successioni monotone e perché una successione monotona non può essere oscillante?

Una successione monotona ammette sempre limite: se è monotona crescente il limite coincide con $\sup\{a_n, n \in \mathbb{N}\}$, mentre se è decrescente coincide con $\inf\{a_n, n \in \mathbb{N}\}$. Non può essere irregolare perché nella retta reale estesa l'estremo superiore e inferiore esistono sempre.

Come sono definite due successioni asintotiche $a_n \sim b_n$ e per quali operazioni l'asintotico non è valido in generale?

Due successioni sono asintotiche per $n \to +\infty$ se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$. La stima asintotica non si preserva in generale per le somme di successioni né per l'elevamento a esponenziale.

Qual è la formulazione del criterio del rapporto per le successioni a termini strettamente positivi?

Sia $a_n > 0$ definitivamente ed esista $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$. Se $l < 1$, allora $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$; se $l > 1$, allora $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$; se $l = 1$, il criterio è inconcludente.

Qual è l'ordine gerarchico crescente degli infiniti per $n \to +\infty$ con parametri positivi opportuni?

Dati $\beta > 0$, $\alpha > 0$ e $b > 1$, la gerarchia in ordine crescente di infinito è: $(\ln(n))^\beta \ll n^\alpha \ll b^n \ll n! \ll n^n$.

Come è definita la notazione di o-piccolo $a_n = o(b_n)$ e qual è il suo legame con l'equivalenza asintotica?

Si dice che $a_n$ è un o-piccolo di $b_n$ se $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 0$. La relazione di asintotico $a_n \sim b_n$ equivale formalmente a scrivere $a_n = b_n + o(b_n)$.

Qual è la definizione formale di serie numerica e di somma parziale $s_n$?

A partire da una successione $\{a_n\}$, si definisce successione delle somme parziali $s_n = \sum_{k=0}^n a_k$. La serie numerica $\sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ rappresenta il limite per $n \to +\infty$ di $s_n$; se tale limite esiste finito ed è pari a $S \in \mathbb{R}$, la serie converge e $S$ è detta somma della serie.

Come si determina il carattere della serie geometrica $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n$ in funzione della ragione $q \in \mathbb{R}$?

Per $|q| < 1$ la serie converge a $\frac{1}{1-q}$; per $q \ge 1$ diverge positivamente a $+\infty$; per $q \le -1$ la serie è irregolare.

Come si calcola la somma della serie telescopica di Mengoli $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}$?

Scrivendo il termine generale come $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$, la somma parziale si riduce a $s_n = 1 - \frac{1}{n+1}$. Calcolando il limite per $n \to +\infty$, si ottiene $\lim_{n \to +\infty} \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$, pertanto la serie converge con somma $1$.

Qual è la condizione necessaria per la convergenza di una serie numerica e come si dimostra?

La condizione necessaria è che $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Si dimostra notando che $a_{n+1} = s_{n+1} - s_n$; se la serie converge alla somma finita $S$, allora $\lim_{n \to +\infty} a_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} s_{n+1} - \lim_{n \to +\infty} s_n = S - S = 0$.

Come si dimostra la divergenza della serie armonica $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}$?

Dalla disuguaglianza $x > \ln(1+x)$ valida per ogni $x > 0$, ponendo $x = \frac{1}{k}$ si ottiene $\frac{1}{k} > \ln(k+1) - \ln(k)$. Sommando membro a membro per $k=1, \dots, n$, si ottiene per telescopia $s_n > \ln(n+1)$. Poiché $\ln(n+1) \to +\infty$, per il teorema del confronto la serie armonica diverge a $+\infty$.

A quale valore converge la successione $s_n - \ln(n)$ derivata dalle somme parziali della serie armonica?

La differenza $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n)$ converge alla costante di Eulero-Mascheroni $\gamma \approx 0{,}57721\dots$, mostrando che le somme parziali della serie armonica crescono asintoticamente come $\ln(n)$.

Per quale motivo una serie a termini non negativi non può mai essere irregolare?

Perché per ogni $n$ si ha $s_{n+1} - s_n = a_{n+1} \ge 0$, il che rende la successione delle somme parziali $s_n$ monotona crescente. Per il teorema sulle successioni monotone, essa ammette sempre limite, che coincide con $\sup\{s_n\}$ ed è un numero finito oppure $+\infty$.

Cosa stabilisce il criterio del confronto asintotico per serie a termini non negativi?

Date due successioni a termini non negativi tali che $b_n > 0$ e $a_n \sim b_n$ per $n \to +\infty$, le rispettive serie $\sum a_n$ e $\sum b_n$ presentano lo stesso carattere di convergenza o divergenza.

Per quali valori del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$ converge la serie armonica generalizzata $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$?

La serie armonica generalizzata converge per $\alpha > 1$ e diverge positivamente per $\alpha \le 1$.

Quali conclusioni permettono di trarre i criteri del rapporto e della radice per le serie a termini positivi?

Se il limite del rapporto $\lim_{n \to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = l$ o il limite della radice $\lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = l$ esiste, allora: per $l < 1$ la serie converge; per $l > 1$ la serie diverge a $+\infty$; per $l = 1$ il criterio risulta inconcludente.

Qual è l'enunciato del teorema di convergenza assoluta per le serie numeriche e su quale disuguaglianza si fonda la sua dimostrazione?

Se la serie dei valori assoluti $\sum |a_n|$ converge, allora la serie $\sum a_n$ converge semplicemente. La dimostrazione si fonda sul confronto con la disuguaglianza $0 \le a_n + |a_n| \le 2|a_n|$, da cui converge $\sum (a_n + |a_n|)$, permettendo di esprimere $a_n = (a_n + |a_n|) - |a_n|$ come differenza di serie convergenti.

Quali sono le ipotesi e le conclusioni del criterio di Leibniz per le serie a termini di segno alterno?

Data una successione $\{a_n\}$ non negativa ($a_n \ge 0$), infinitesima ($\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$) e decrescente ($a_{n+1} \le a_n$), la serie a termini alterni $\sum (-1)^n a_n$ converge e per le sue somme parziali sussiste la stima dell'errore di troncamento $|s_n - S| \le a_{n+1}$.

Come si dimostra la convergenza della successione delle somme parziali nel criterio di Leibniz?

Si dimostra che la successione delle somme parziali pari $s_{2n}$ è decrescente e limitata inferiormente da $s_1$, mentre la successione dispari $s_{2n+1}$ è crescente e limitata superiormente da $s_0$. Poiché $s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1}$ con $a_{2n+1} \to 0$, entrambe le successioni convergono al medesimo limite finito $S$.

Data la serie alternata con $a_n = \frac{1}{n}$, quale indice minimo $N$ garantisce un'approssimazione della somma con errore minore di $10^{-3}$ secondo il criterio di Leibniz?

Applicando la stima dell'errore di troncamento $|s_N - S| \le a_{N+1} \le 10^{-3}$, si pone $\frac{1}{N+1} \le \frac{1}{1000}$, da cui $N+1 \ge 1000$, ovvero $N \ge 999$.

Qual è il comportamento della serie alternata $\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(1 + \frac{1}{n^\alpha}\right)$ al variare del parametro $\alpha \in \mathbb{R}$?

Per $\alpha \le 0$ la serie non converge poiché il termine generale non è infinitesimo. Per $0 < \alpha \le 1$ la serie converge semplicemente per Leibniz ma non assolutamente. Per $\alpha > 1$ la serie converge assolutamente, in quanto per confronto asintotico $\ln\left(1 + \frac{1}{n^\alpha}\right) \sim \frac{1}{n^\alpha}$.

Per quali valori dei parametri reali $\alpha$ e $\beta$ converge la serie di riferimento $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha (\ln(n))^\beta}$?

La serie converge se $\alpha > 1$ per qualunque valore di $\beta \in \mathbb{R}$, oppure se $\alpha = 1$ con $\beta > 1$. Diverge invece se $\alpha < 1$ per ogni $\beta \in \mathbb{R}$, oppure se $\alpha = 1$ con $\beta \le 1$.