CH1 : Bases de l'optique géométrique

Physique

Condition de réflexion totale au dioptre cœur/gaine (cœur $n_1$, gaine $n_2 < n_1$)

$i_1 > i_{1\ell}$, avec $i_{1\ell} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$ (lumière allant vers un milieu moins réfringent).

Relation entre l'angle de réfraction $r$ à l'entrée et l'angle d'incidence $i_1$ au dioptre cœur/gaine

$r + i_1 = \frac{\pi}{2}$, soit $r = \frac{\pi}{2} - i_1$.

Condition sur l'angle de réfraction $r$ à l'entrée air/cœur pour que le rayon soit guidé

$r < r_{\text{max}} = \frac{\pi}{2} - i_{1\ell}$, avec $i_{1\ell} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$.

Expression de l'ouverture numérique $\sin(\theta_{\text{max}})$ pour une fibre à saut d'indice dans l'air

$$\sin(\theta_{\text{max}}) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

Étapes de démonstration de la formule $\sin(\theta_{\text{max}}) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$

1. Cas limite : $i_1 = i_{1\ell}$. 2. Réfraction à l'entrée : $\sin(\theta_{\text{max}}) = n_1 \sin(r_{\text{max}}) = n_1 \sin\left(\frac{\pi}{2} - i_{1\ell}\right) = n_1 \cos(i_{1\ell})$. 3. Utiliser $\cos(i_{1\ell}) = \sqrt{1 - \left(\frac{n_2}{n_1}\right)^2}$ car $\sin(i_{1\ell}) = \frac{n_2}{n_1}$.

Condition d'incidence $\theta$ à l'entrée pour le guidage dans une fibre à saut d'indice

$\theta < \theta_{\text{max}}$ (rayon dans le cône d'acceptance) : $\theta$ petit $\implies r$ petit ($\sin(\theta) = n_1 \sin(r)$) $\implies i_1 = \frac{\pi}{2} - r$ grand $\implies i_1 > i_{1\ell}$ (réflexion totale).

Définition de $\theta_{\text{max}}$ par rapport au cône d'acceptance

C'est le demi-angle au sommet, mesuré par rapport à l'axe optique $(Ox)$.

Rayon arrivant le premier dans une fibre à saut d'indice de longueur $L$ et durée $t_{\text{min}}$

Le rayon axial ($\theta = 0$), parcourant un chemin de longueur $L$ à la vitesse $v = \frac{c}{n_1}$ : $t_{\text{min}} = \frac{n_1 L}{c}$.

Vitesse de propagation $v$ de la lumière dans le cœur d'indice $n_1$

$$v = \frac{c}{n_1}$$

Rayon ayant la durée de parcours la plus longue dans une fibre à saut d'indice

Le rayon le plus incliné ($\theta = \theta_{\text{max}}$), correspondant à l'incidence limite $i_1 = i_{1\ell}$ au dioptre cœur/gaine.

Obtention de la longueur $L'$ du chemin le plus long ($i_1 = i_{1\ell}$) pour une fibre de longueur $L$

En dépliant le zigzag en un triangle rectangle de côté $L$ et d'hypoténuse $L'$ : $\sin(i_{1\ell}) = \frac{L}{L'} = \frac{n_2}{n_1} \implies L' = \frac{n_1 L}{n_2}$.

Durée de parcours maximale $t_{\text{max}}$ dans une fibre à saut d'indice de longueur $L$

$t_{\text{max}} = \frac{n_1 L'}{c} = \frac{n_1^2 L}{n_2 c}$ (rayon sous l'incidence limite $i_1 = i_{1\ell}$).

Allure de l'impulsion en sortie pour une impulsion très brève en entrée à $t = 0$

L'impulsion s'étale continûment entre $t_{\text{min}}$ et $t_{\text{max}}$ : sa durée est $\Delta t = t_{\text{max}} - t_{\text{min}}$.

Expression de la dispersion intermodale $\Delta t$ dans une fibre à saut d'indice

$$\Delta t = t_{\text{max}} - t_{\text{min}} = \left(\frac{n_1 L}{c}\right) \left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)$$

Condition de non-recouvrement des impulsions à la fréquence $f$ en sortie

$T > \Delta t \iff f < \frac{1}{\Delta t}$, où $\Delta t$ est l'élargissement de chaque impulsion.

Ordres de grandeur de $\Delta t$ et $f_{\text{max}}$ pour $n_1 = 1{,}456$, $n_2 = 1{,}410$, $L = 1\,\text{km}$

$\Delta t \approx 1{,}58 \times 10^{-7}\,\text{s}$, donc $f < \frac{1}{\Delta t} \approx 6{,}3\,\text{MHz}$ (débit maximal $\approx 6{,}3\,\text{Mbit}\cdot\text{s}^{-1}$).