Principe de la m´ethode des diff´erences finies

À quels types de problèmes aux limites la méthode des éléments finis est-elle bien adaptée ?

Elle est bien adaptée aux problèmes aux limites associés à certains opérateurs d'ordre pair (i.e. où les dérivées d'ordre maximal sont paires), comme le laplacien

Pour un opérateur de transport de type ∂/∂t + ∂/∂x, où t et x sont des variables monodimensionnelles, quelle question le cours pose-t-il à propos de la méthode des éléments finis ?

Le cours se demande ce qu'il faut faire pour un tel opérateur, alors que la méthode des éléments finis est bien adaptée à certains opérateurs d'ordre pair comme le laplacien

Quel type de concept la méthode des éléments finis utilise-t-elle ?

Elle utilise un concept variationnel abstrait qui n'est pas élémentaire

Que faut-il faire pour appliquer la méthode des éléments finis, et quel problème est discrétisé ?

Son application exige de transformer le problème aux limites en un problème variationnel. C'est ce problème qui est discrétisé

Sur quel concept la méthode des différences finies repose-t-elle ?

Elle repose sur un concept très élémentaire lié à la définition même de la dérivée

Comment la méthode des différences finies approche-t-elle la dérivée ?

Elle approche la dérivée par un quotient différentiel

Quelle est la différence entre les éléments finis et les différences finies quant au problème discrétisé ?

Pour les éléments finis, c'est le problème variationnel qui est discrétisé. Pour les différences finies, le problème aux limites est le problème discrétisé

En dimension 1, quelle est l'idée fondamentale de la méthode des différences finies, et comment écrit-on la dérivée de la fonction u en un point x ∈ ℝ à l'aide de la définition de la dérivée ?

Pour h petit (sans être nul), que constitue le quotient (u(x + h) − u(x))/h par rapport à la dérivée du/dx, et en quel sens est-ce une « bonne approximation » ?

Pour h petit (sans être nul), que constitue le quotient (u(x + h) − u(x))/h par rapport à la dérivée du/dx, et en quel sens est-ce une « bonne approximation » ?

Si u est de classe C² au voisinage de x, quelle majoration de l'erreur |(u(x + h) − u(x))/h − u′(x)| obtient-on pour tout h > 0 suffisamment petit (h ≤ h₀), comment note-t-on la constante C, et comment appelle-t-on alors cette approximation ?

Que dit-on de l'approximation de u′(x) par (u(x + h) − u(x))/h dont l'erreur est d'ordre h, et comment définit-on de manière générale une approximation consistante d'ordre p (p > 0) ?

Quelle autre approximation consistante d'ordre 1 de la dérivée première le cours donne-t-il, et comment peut-on améliorer la précision de l'approximation ?

En supposant u de classe C³ au voisinage de x, quels développements de Taylor obtient-on pour u(x + h) et pour u(x − h), et où se situent ξ₁ et ξ₂ ?

Comment obtient-on le résultat sur le quotient différentiel centré (u(x + h) − u(x − h))/(2h), et quel théorème utilise-t-on pour cela ?

Par différence des deux développements de Taylor et grâce au théorème des valeurs intermédiaires, à quoi est égal (u(x + h) − u(x − h))/(2h), et où se situe le point ξ ?

Quelle estimation de l'erreur |(u(x + h) − u(x − h))/(2h) − u′(x)| obtient-on pour tout h ∈ ]0, h₀], comment définit-on la constante C, quel est l'ordre de cette approximation de u′, et de quoi dépend la précision de l'approximation ?

Soit u : [0, 1] → ℝ solution du problème modèle en dimension 1 : quelle équation vérifie u sur ]0, 1[, quelles conditions aux limites vérifie-t-elle, et quelle hypothèse fait-on sur les fonctions données c et f ?

Dans le problème modèle en dimension 1, que dit la théorie variationnelle sur l'existence de la solution u (par exemple si c ∈ L^∞(]0, 1[) et f ∈ L²(]0, 1[)), quelle écriture explicite a-t-on pour u lorsque c = 0, comment est définie la fonction G, et pourquoi cherche-t-on une approximation dans le cas général ?

Pour approcher u par la méthode des différences finies, en quels points cherche-t-on une valeur approchée, quelle différence fondamentale cela marque-t-il avec la méthode des éléments finis, comment appelle-t-on ces points et comment les choisit-on pour simplifier, comment est défini le pas h du maillage, que vaut-on aux extrémités, et comment appelle-t-on les autres points xᵢ ?

En chacun des points xᵢ, quelle valeur approchée cherche-t-on et comment la note-t-on, quelles valeurs prend-on naturellement aux extrémités de l'intervalle, quelle idée utilise-t-on pour les sommets internes, quelles sont les inconnues du problème discret et comment note-t-on le vecteur uₕ ?

Lemme : En chacun des points xᵢ, quelle valeur approchée cherche-t-on et comment la note-t-on, quelles valeurs prend-on naturellement aux extrémités de l'intervalle, quelle idée utilise-t-on pour les sommets internes, quelles sont les inconnues du problème discret et comment note-t-on le vecteur uₕ ?

Dans la remarque 11, de quoi dépend l'estimation d'erreur, et quelle erreur obtiendrait-on si u n'était par exemple que de classe C³ ?

Dans la remarque 11, à quoi est égal le quotient (u(x + h) − 2u(x) + u(x − h))/h², comment sont définis les opérateurs D₊ₕ et D₋ₕ, et comment les qualifie-t-on ?

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Dans la proposition 7, si c ≥ 0, que peut-on dire de la matrice Aₕ ?

Dans la définition 9, comment définit-on l'erreur de consistance εₕ(u) du schéma (42) Aₕuₕ = bₕ, que représente le vecteur πₕ(u), quand dit-on que le schéma est consistant au sens de la norme ‖·‖ de ℝᴺ, et quand dit-on qu'il est d'ordre p pour la norme ‖·‖ ?

Dans la proposition 8, si la solution u du problème (36)-(37) est de classe C⁴ sur [0, 1], que peut-on dire du schéma (40)-(41) pour la norme ‖·‖∞ ?

Dans la remarque 12, quelle relation lie la dimension N de l'espace au pas h, et que valent alors ‖εₕ(u)‖₁ et ‖εₕ(u)‖₂ ?

Dans la remarque 12, que se passe-t-il si u est de dérivée quatrième nulle, et que peut-on en déduire sur la solution discrète uₕ et la solution exacte u aux sommets du maillage ?

Comment obtient-on par différence la relation (46) entre uₕ − πₕ(u) et l'erreur de consistance εₕ(u), et pourquoi cette erreur de consistance ne constitue-t-elle qu'une première étape dans l'évaluation de l'erreur de convergence de la méthode ?

Dans le théorème 4, si c ≥ 0 et si la solution u du problème (36)-(37) est de classe C⁴ sur [0, 1], que peut-on dire du schéma (40)-(41) d'approximation par différences finies pour la norme ‖·‖∞, et quelle majoration précise de ‖uₕ − πₕ(u)‖∞ obtient-on ?

Soit ‖·‖ une norme vectorielle donnée sur ℝᴺ et A une matrice quelconque de ℝᴺˣᴺ : comment définit-on la norme matricielle subordonnée ‖A‖, quelles propriétés usuelles des normes vérifie-t-elle, quelle inégalité vérifie ‖Ax‖ pour tout x ∈ ℝᴺ, et comment l'appelle-t-on ?

Dans la proposition 9, pour une matrice A de ℝᴺ × ℝᴺ de coefficients Aᵢ,ⱼ, comment s'expriment les normes matricielles ‖A‖₁, ‖A‖∞ et ‖A‖₂, et que désigne la notation ρ(B) ?

Dans la définition 10, quand dit-on qu'un vecteur x est positif, quand dit-on qu'une matrice A est positive, et quand dit-on qu'une matrice A est monotone ?

Dans le lemme 2, à quelle condition nécessaire et suffisante une matrice A de ℝⁿˣⁿ est-elle monotone ?

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Dans la proposition 10, si c ≥ 0, que peut-on dire de la matrice Aₕ ? 

Dans la proposition 11, si c ≥ 0, quelle estimation obtient-on pour la norme ‖(Aₕ)⁻¹‖∞ ?

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