Mécanique des fluides chapitre 2 : Actions mécaniques dans un fluide, Statique

Fiches de vocabulaire sur les actions mécaniques dans les fluides, le champ de pression, les contraintes de cisaillement et la viscosité, les conditions aux limites, la statique des fluides et la poussée d'Archimède.

Force volumique

Force s'appliquant en chaque point d'un fluide au sein de son volume, généralement associée à des actions à longue portée, définie par $d\vec{F}(M,t) = \vec{f}_v(M,t)\,d\tau$ et de dimension $[f_v] = M\cdot L^{-2}\cdot T^{-2}$ ($\text{N}\cdot\text{m}^{-3}$).

Force volumique de pesanteur

Force volumique due à l'action de la pesanteur sur une particule fluide élémentaire de masse $\delta m = \mu(M,t)\,d\tau$, s'exprimant par $\vec{f}_{v,\text{pes}}(M,t) = \mu(M,t)\vec{g}$.

Force surfacique (ou contrainte)

Action mécanique de contact à courte portée exercée par l'extérieur sur un élément de surface $dS$, notée $d\vec{F}_s(M,t) = \vec{f}_s(M,t)\,dS$, de dimension $[f_s] = M\cdot L^{-1}\cdot T^{-2}$ ($\text{N}\cdot\text{m}^{-2} = \text{Pa}$).

Contrainte normale de traction ou de compression

Composante de l'action de contact normale à la surface $d\vec{F}_{s,n} = (d\vec{F}_s \cdot \vec{n})\vec{n}$. Elle est toujours dirigée vers l'intérieur du système car un fluide pousse sur la surface qui le délimite et ne tire pas.

Contrainte de cisaillement (composante tangentielle)

Composante de la force surfacique orthogonale à la normale $d\vec{F}_{s,t} = d\vec{F}_s - d\vec{F}_{s,n}$, causée par le frottement visqueux entre couches de fluide en mouvement relatif, et nulle en statique ou pour un écoulement parfait ($\eta = 0$).

Équivalent volumique des forces de pression

Force volumique fictive équivalente à la résultante des forces de pression s'exerçant sur une particule fluide de volume $d\tau$, s'écrivant $\vec{f}_{v,p}(M,t) = -\vec{\text{grad}}(P(M,t))$.

Résultante des forces de pression sur une surface fermée

Résultante globale calculée via le théorème du gradient sur une surface fermée $S$ délimitant un volume $V$ : $\vec{F}_p = \oint_S -P(M)\vec{n}\,dS = \iiint_V -\vec{\text{grad}}(P(M))\,d\tau$.

Résultante d'une pression uniforme

Propriété selon laquelle la résultante des forces de pression exercées par un fluide de pression uniforme $P$ sur une surface fermée quelconque $S$ est strictement nulle : $\oint_S -P\,d\vec{S} = \vec{0}$.

Viscosité de cisaillement

Force de frottement interne apparaissant dans un écoulement lorsque les particules de fluide voisines présentent une différence de vitesse moyenne, augmentant avec la surface d'échange et le gradient transverse de vitesse.

Loi de Newton pour la viscosité

Relation donnant la force élémentaire tangentielle exercée par la couche supérieure sur la couche inférieure à travers $dS$ : $d\vec{F}_{\text{visc}} = \eta \frac{\partial v_x}{\partial y}(y)\,dS\,\vec{u}_x$.

Viscosité dynamique ($\eta$)

Coefficient caractéristique de la résistance à l'écoulement d'un fluide, de dimension $[\eta] = M\cdot L^{-1}\cdot T^{-1}$, s'exprimant en poiseuille ($1\,\text{Pl} = 1\,\text{Pa}\cdot\text{s} = 1\,\text{N}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}$).

Équation de Navier-Stokes

Équation fondamentale de la dynamique volumique d'un fluide newtonien incompressible : $\mu \left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\vec{\text{grad}})\vec{v}\right) = \mu\vec{g} - \vec{\text{grad}}(P) + \eta\Delta\vec{v}$.

Condition de non-pénétration

Condition aux limites imposant l'égalité des composantes normales de vitesse à une interface entre milieux non miscibles ($\vec{v}_1 \cdot \vec{n} = \vec{v}_2 \cdot \vec{n}$), assurant qu'aucune matière ne traverse la frontière géométrique.

Condition d'adhérence

Condition aux limites imposant la continuité de la vitesse tangentielle ($\vec{v}_{1,t} = \vec{v}_{2,t}$) au contact d'un fluide visqueux pour éviter un gradient de vitesse infini, annulant la vitesse du fluide contre une paroi solide immobile.

Écoulement de Couette plan

Écoulement stationnaire et laminaire d'un fluide visqueux compris entre une plaque plane fixe en $y = 0$ et une plaque plane animée d'une vitesse constante $v_0\vec{u}_x$ en $y = e$.

Principe fondamental de la statique des fluides

Équation d'équilibre mécanique local reliant le gradient de pression aux forces volumiques appliquées : $\vec{\text{grad}}(P(M)) = \mu(M)\vec{g}(M)$.

Loi hydrostatique pour un fluide incompressible

Évolution linéaire de la pression selon l'altitude verticale ascendante $z$ au sein d'un liquide homogène et incompressible : $P(z) = P(0) - \mu g z$.

Baromètre de Torricelli

Dispositif mesurant la pression atmosphérique au moyen d'un tube de mercure retourné, où une hauteur équivalente de $76\,\text{cm}$ de mercure ($1\,\text{torr} = 1\,\text{mm\,Hg}$) correspond à $101\,325\,\text{Pa}$.

Hauteur caractéristique de l'atmosphère ($h_a$)

Échelle de hauteur d'un gaz parfait isotherme définie par $h_a = \frac{R T}{M g} = \frac{k_B T}{m g} \approx 8\,\text{km}$ pour l'air à $273\,\text{K}$, représentant l'altitude où le gain d'énergie potentielle équivaut à l'agitation thermique.

Expérience de Jean Perrin (1909)

Expérience observant au microscope la répartition verticale de grains colloïdaux d'émulsion régie par le facteur de Boltzmann, ayant permis de mesurer $k_B$ et le nombre d'Avogadro $N_A$.

Poussée d'Archimède

Résultante des forces de pression exercées par les fluides environnants au repos sur un objet immergé, résultant de la variation hydrostatique de la pression avec la profondeur : $\vec{\Pi}_A = \oint_S -P(M)\,d\vec{S}$.

Théorème d'Archimède

Théorème énonçant que pour un corps entièrement mouillé dans un fluide en équilibre, la résultante des forces de pression est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé : $\vec{\Pi}_A = -m_f \vec{g} = -\mu_f V_{\text{imm}}\vec{g}$.

Poids apparent

Somme vectorielle du poids réel d'un corps et de sa poussée d'Archimède : $\vec{P}_{\text{app}} = \vec{P} + \vec{\Pi}_A = (m - m_f)\vec{g}$.

Pression motrice ($P^*$)

Écart du champ de pression réel par rapport au champ hydrostatique statique ($P = P_{\text{hyd}} + P^*$), nul au repos et responsable des efforts normaux purement dynamiques lors d'un écoulement.

Force hydrodynamique

Action de contact dynamique totale exercée par un fluide en écoulement sur un corps, combinant les effets de la pression motrice $P^*$ et les contraintes visqueuses tangentielles, décomposée en traînée et en portance.