Geometria e Algebra Lineare - Flashcard Vocabolario

Flashcard di vocabolario sui concetti chiave di Geometria e Algebra Lineare estratti dalla trascrizione delle lezioni.

Matrice $m \times n$

Una tabella rettangolare costituita da $m \cdot n$ numeri reali disposti su $m$ linee orizzontali (dette righe) e $n$ linee verticali (dette colonne).

Matrice nulla

Una matrice $A = (a_{ij})$ i cui elementi sono tutti uguali a zero, cioè $a_{ij} = 0$ per ogni coppia di indici $i, j$.

Matrice quadrata

Una matrice di dimensione $m \times n$ in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne ($m = n$).

Diagonale principale

L'insieme degli elementi $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ di una matrice quadrata $A = (a_{ij})$ di ordine $n$.

Matrice diagonale

Una matrice quadrata $A = (a_{ij})$ i cui elementi al di fuori della diagonale principale sono tutti nulli, cioè $a_{ij} = 0$ quando $i \neq j$.

Traccia di una matrice

La somma degli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata $A = (a_{ij})$ di ordine $n$, indicata con $\text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}$.

Matrice unità

Una matrice diagonale, indicata genericamente con $I$, i cui elementi sulla diagonale principale sono tutti uguali a $1$.

Matrice trasposta

Data una matrice $A = (a_{ij}) \in M(m, n)$, la matrice ${}^tA = (b_{ij}) \in M(n, m)$ il cui elemento di posto $ij$ è $b_{ij} = a_{ji}$.

Matrice simmetrica

Una matrice quadrata $A$ coincide con la propria trasposta, ossia ${}^tA = A$.

Matrice antisimmetrica

Una matrice quadrata $A$ tale per cui la sua trasposta è uguale alla sua opposta, ossia ${}^tA = -A$.

Matrice idempotente

Una matrice quadrata $A$ che soddisfa la condizione $A^2 = A$.

Matrice nilpotente

Una matrice quadrata $A$ per la quale esiste un numero intero $m \in \mathbb{N}$ tale che $A^m = 0$.

Matrice involutoria

Una matrice quadrata $A$ tale che il suo quadrato è pari alla matrice identità, ovvero $A^2 = I$.

Matrici permutabili

Due matrici quadrate $A$ e $B$ dello stesso ordine per cui il prodotto commuta, ossia $AB = BA$.

Matrice invertibile

Una matrice quadrata $A$ di ordine $n$ per cui esiste un'unica matrice $B$ di ordine $n$ tale che $AB = BA = I$, dove $B = A^{-1}$.

Matrice ortogonale

Una matrice invertibile $A$ la cui inversa coincide con la sua trasposta, ossia $A^{-1} = {}^tA$.

Complemento algebrico (o cofattore)

Il numero $A_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$ associato all'elemento $a_{ij}$ di una matrice quadrata $A$, dove $A_{ij}$ è la sottomatrice ottenuta eliminando la $i$-esima riga e la $j$-esima colonna.

Matrice triangolare superiore

Una matrice quadrata $A = (a_{ij})$ i cui elementi sotto la diagonale principale sono tutti nulli, cioè $a_{ij} = 0$ per $i > j$.

Matrice triangolare inferiore

Una matrice quadrata $A = (a_{ij})$ i cui elementi sopra la diagonale principale sono tutti nulli, cioè $a_{ij} = 0$ per $i < j$.

Teorema di Binet

Teorema che stabilisce che per due matrici quadrate $A$ e $B$ dello stesso ordine vale la relazione $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$.

Rango (o caratteristica) di una matrice

Il massimo ordine tra tutte le sottomatrici quadrate non singolari (con determinante diverso da zero) contenute nella matrice $A$.

Matrice a scala

Una matrice in cui il numero di zeri che precedono il primo elemento non nullo di ciascuna riga aumenta strettamente riga dopo riga verso il basso, fino ad eventuali sole righe nulle.

Sistema lineare compatibile

Un sistema lineare che ammette almeno una soluzione.

Teorema di Rouché-Capelli

Teorema che afferma che un sistema lineare $AX = B$ è compatibile se e solo se il rango della matrice dei coefficienti $A$ è uguale al rango della matrice orlata $\tilde{A}$.

Teorema di Cramer

Teorema secondo cui un sistema lineare quadrato $AX = B$ di $n$ equazioni in $n$ incognite ha un'unica soluzione se e solo se $\det(A) \neq 0$.

Vettori applicati equipollenti

Due vettori applicati non nulli che condividono la stessa direzione, lo stesso verso e lo stesso modulo.

Prodotto scalare standard in $\mathbb{R}^n$

L'operazione definita tra due vettori $\mathbf{a} = (a_1, \dots, a_n)$ e $\mathbf{b} = (b_1, \dots, b_n)$ dal numero reale $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i$.

Versore

Un vettore avente norma (o lunghezza) pari a $1$.

Disuguaglianza di Schwarz

Disuguaglianza fondamentale per cui per ogni coppia di vettori $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ vale $$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$.

Disuguaglianza triangolare

Proprietà della norma secondo cui per ogni coppia di vettori $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$ vale $$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$.

Prodotto vettoriale

Operazione tra due vettori $\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^3$ che restituisce un vettore ortogonale a entrambi, con modulo pari all'area del parallelogramma generato da $\mathbf{v}$ e $\mathbf{w}$.

Prodotto misto

Il numero reale espresso da $\mathbf{v} \cdot (\mathbf{w} \wedge \mathbf{u})$ per tre vettori di $\mathbb{R}^3$, il cui valore assoluto rappresenta il volume del parallelepipedo individuato dai tre vettori.

Conica non degenere

Una conica la cui matrice simmetrica associata $A$ soddisfa $\text{r}(A) = 3$ (ovvero $\det(A) \neq 0$).

Fascio improprio di piani

L'insieme di tutti i piani paralleli ad un dato piano fissato.

Fascio proprio di piani

L'insieme di tutti i piani nello spazio che contengono una stessa retta fissa (detta asse del fascio).

Rette sghembe

Due rette nello spazio che non sono giacenti sullo stesso piano e che non possiedono punti in comune.

Spazio vettoriale

Un insieme $V$ munito di un'operazione interna di somma e un'operazione esterna di moltiplicazione per uno scalare che soddisfano le otto proprietà algebriche fondamentali.

Sottospazio vettoriale

Un sottoinsieme non vuoto $S$ di uno spazio vettoriale $V$ che risulta chiuso rispetto alle operazioni di somma vettoriale e di moltiplicazione per uno scalare.

Combinazione lineare

Il vettore ottenuto sommando i prodotti dei vettori $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ per rispettivi scalari $c_1, \dots, c_k \in \mathbb{R}$, ovvero $\sum_{i=1}^k c_i \mathbf{v}_i$.

Vettori linearmente indipendenti

Un insieme di vettori $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_m$ per cui l'unica combinazione lineare che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli ($c_1 = \dots = c_m = 0$).

Base di uno spazio vettoriale

Un insieme di vettori di $V$ che sono contemporaneamente linearmente indipendenti e costituiscono un sistema di generatori per $V$.

Dimensione di uno spazio vettoriale

Il numero di vettori che compongono una qualsiasi base dello spazio vettoriale $V$, indicato con $\text{dim}(V)$.

Somma diretta di sottospazi

La somma $U + W$ di due sottospazi per la quale l'intersezione è ridotta al solo vettore nullo ($U \cap W = \{\mathbf{0}\}$), indicata con $U \oplus W$.

Relazione di Grassmann

Formula che lega le dimensioni di due sottospazi $U$ e $W$: $\text{dim}(U + W) = \text{dim}(U) + \text{dim}(W) - \text{dim}(U \cap W)$.

Spazio vettoriale euclideo

Uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definita positiva $\langle \cdot, \cdot \rangle$.

Procedimento di Gram-Schmidt

Algoritmo che consente di trasformare una generica base di uno spazio euclideo in una base ortogonale o ortonormale.

Complemento ortogonale

Data un sottoinsieme $S$ di uno spazio euclideo $V$, l'insieme $S^\perp$ di tutti i vettori di $V$ ortogonali a ogni vettore di $S$.

Applicazione lineare

Una funzione $T: V \to W$ tra due spazi vettoriali che preserva la somma vettoriale ($T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$) e il prodotto per uno scalare ($T(c\mathbf{u}) = cT(\mathbf{u})$).

Nucleo (Ker) di un'applicazione lineare

Il sottospazio $\text{Ker}(T) = \{\mathbf{v} \in V : T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W\}$ formato da tutti i vettori del dominio inviati nel vettore nullo dall'applicazione $T$.

Immagine (Im) di un'applicazione lineare

Il sottospazio $\text{Im}(T) = \{T(\mathbf{v}) : \mathbf{v} \in V\}$ contenuto nel codominio $W$, formato dai valori assunti da $T$.

Teorema della nullità più rango

Teorema secondo cui per un'applicazione lineare $T: V \to W$ con $V$ di dimensione finita si ha $\text{dim}(V) = \text{dim}(\text{Ker}(T)) + \text{dim}(\text{Im}(T))$.

Autovettore

Un vettore non nullo $\mathbf{v} \in V$ tale che la sua immagine tramite un endomorfismo $T$ sia un suo multiplo scalare, ossia $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$.

Autovalore

Uno scalare $\lambda \in \mathbb{R}$ per il quale esiste un vettore non nullo $\mathbf{v} \in V$ che soddisfa $T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v}$.

Polinomio caratteristico

Il polinomio espresso da $p_T(\lambda) = \det(A - \lambda I)$, le cui radici reali costituiscono gli autovalori dell'endomorfismo $T$.

Molteplicità algebrica

La molteplicità di un autovalore $\lambda$ come radice del polinomio caratteristico.

Molteplicità geometrica

La dimensione dell'autospazio $E(\lambda) = \text{Ker}(T - \lambda \text{Id})$ associato all'autovalore $\lambda$.

Endomorfismo simmetrico

Un endomorfismo $T$ su uno spazio euclideo $V$ che soddisfa $\langle T(\mathbf{u}), \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, T(\mathbf{v}) \rangle$ per ogni $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$.

Teorema Spettrale

Teorema che afferma che per ogni endomorfismo simmetrico su uno spazio euclideo reale di dimensione finita esiste una base ortonormale di autovettori.

Isometria ( od endomorfismo ortogonale)

Un endomorfismo $T$ su uno spazio euclideo $V$ che preserva il prodotto scalare, vale a dire $\langle T(\mathbf{u}), T(\mathbf{v}) \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle$ per ogni $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$.

Forma quadratica

Una funzione $q: V \to \mathbb{R}$ definita da $q(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}, \mathbf{v})$, dove $f: V \times V \to \mathbb{R}$ è una forma bilineare simmetrica.